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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
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<img src="https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210924105952.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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## 416. 分割等和子集
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[力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/)
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题目难易：中等
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给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
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注意:
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每个数组中的元素不会超过 100
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数组的大小不会超过 200
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示例 1:
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输入: [1, 5, 11, 5]
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输出: true
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解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
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示例 2:
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输入: [1, 2, 3, 5]
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输出: false
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解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
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提示：
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* 1 <= nums.length <= 200
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* 1 <= nums[i] <= 100
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## 思路
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这道题目初步看，是如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题
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* 698.划分为k个相等的子集
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* 473.火柴拼正方形
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这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
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那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。
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本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯，直接上01背包吧。
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如果对01背包不够了解，建议仔细看完如下两篇：
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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## 01背包问题
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背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
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**背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。**
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要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。
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**即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。**
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**要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。**
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回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
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那么来一一对应一下本题，看看背包问题如果来解决。
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**只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。**
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* 背包的体积为sum / 2
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* 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
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* 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
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* 背包中每一个元素是不可重复放入。
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以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。
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动规五部曲分析如下：
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
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**套到本题，dp[j]表示 背包总容量是j，最大可以凑成j的子集总和为dp[j]**。
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2. 确定递推公式
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01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
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所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
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3. dp数组如何初始化
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在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，
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从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
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如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
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**这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了**。
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本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。
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代码如下：
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```CPP
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// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
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// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
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vector<int> dp(10001, 0);
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```
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4. 确定遍历顺序
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
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代码如下：
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```CPP
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// 开始 01背包
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for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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dp[j]的数值一定是小于等于j的。
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**如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。**
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用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：
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最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
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综上分析完毕，C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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bool canPartition(vector<int>& nums) {
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int sum = 0;
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// dp[i]中的i表示背包内总和
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// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
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// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
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vector<int> dp(10001, 0);
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||
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
|
||
sum += nums[i];
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}
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if (sum % 2 == 1) return false;
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int target = sum / 2;
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||
// 开始 01背包
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for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
|
||
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
|
||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
|
||
}
|
||
}
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||
// 集合中的元素正好可以凑成总和target
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||
if (dp[target] == target) return true;
|
||
return false;
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||
}
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};
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```
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* 时间复杂度：O(n^2)
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* 空间复杂度：O(n)，虽然dp数组大小为一个常数，但是大常数
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## 总结
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这道题目就是一道01背包应用类的题目，需要我们拆解题目，然后套入01背包的场景。
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01背包相对于本题，主要要理解，题目中物品是nums[i]，重量是nums[i]，价值也是nums[i]，背包体积是sum/2。
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看代码的话，就可以发现，基本就是按照01背包的写法来的。
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## 其他语言版本
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Java：
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```Java
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class Solution {
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public boolean canPartition(int[] nums) {
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if(nums == null || nums.length == 0) return false;
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||
int n = nums.length;
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int sum = 0;
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||
for(int num : nums){
|
||
sum += num;
|
||
}
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||
//总和为奇数，不能平分
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||
if(sum % 2 != 0) return false;
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int target = sum / 2;
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||
int[] dp = new int[target + 1];
|
||
for(int i = 0; i < n; i++){
|
||
for(int j = target; j >= nums[i]; j--){
|
||
//物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]
|
||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
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||
}
|
||
}
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||
return dp[target] == target;
|
||
}
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||
}
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```
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```java
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public class Solution {
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public static void main(String[] args) {
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int num[] = {1,5,11,5};
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canPartition(num);
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||
}
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public static boolean canPartition(int[] nums) {
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int len = nums.length;
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||
// 题目已经说非空数组，可以不做非空判断
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int sum = 0;
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for (int num : nums) {
|
||
sum += num;
|
||
}
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||
// 特判：如果是奇数，就不符合要求
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if ((sum %2 ) != 0) {
|
||
return false;
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||
}
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int target = sum / 2; //目标背包容量
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||
// 创建二维状态数组，行：物品索引，列：容量（包括 0）
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/*
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||
dp[i][j]表示从数组的 [0, i] 这个子区间内挑选一些正整数
|
||
每个数只能用一次，使得这些数的和恰好等于 j。
|
||
*/
|
||
boolean[][] dp = new boolean[len][target + 1];
|
||
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||
// 先填表格第 0 行，第 1 个数只能让容积为它自己的背包恰好装满 （这里的dp[][]数组的含义就是“恰好”，所以就算容积比它大的也不要）
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if (nums[0] <= target) {
|
||
dp[0][nums[0]] = true;
|
||
}
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||
// 再填表格后面几行
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||
//外层遍历物品
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||
for (int i = 1; i < len; i++) {
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||
//内层遍历背包
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||
for (int j = 0; j <= target; j++) {
|
||
// 直接从上一行先把结果抄下来，然后再修正
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||
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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||
|
||
//如果某个物品单独的重量恰好就等于背包的重量，那么也是满足dp数组的定义的
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if (nums[i] == j) {
|
||
dp[i][j] = true;
|
||
continue;
|
||
}
|
||
//如果某个物品的重量小于j，那就可以看该物品是否放入背包
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||
//dp[i - 1][j]表示该物品不放入背包，如果在 [0, i - 1] 这个子区间内已经有一部分元素，使得它们的和为 j ，那么 dp[i][j] = true；
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||
//dp[i - 1][j - nums[i]]表示该物品放入背包。如果在 [0, i - 1] 这个子区间内就得找到一部分元素，使得它们的和为 j - nums[i]。
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||
if (nums[i] < j) {
|
||
dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i]];
|
||
}
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||
}
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||
}
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||
for (int i = 0; i < len; i++) {
|
||
for (int j = 0; j <= target; j++) {
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||
System.out.print(dp[i][j]+" ");
|
||
}
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||
System.out.println();
|
||
}
|
||
return dp[len - 1][target];
|
||
}
|
||
}
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||
//dp数组的打印结果
|
||
false true false false false false false false false false false false
|
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false true false false false true true false false false false false
|
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false true false false false true true false false false false true
|
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false true false false false true true false false false true true
|
||
```
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二维数组版本（易于理解）：
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```Java
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class Solution {
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public boolean canPartition(int[] nums) {
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||
int sum = 0;
|
||
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
|
||
sum += nums[i];
|
||
}
|
||
|
||
if (sum % 2 == 1)
|
||
return false;
|
||
int target = sum / 2;
|
||
|
||
//dp[i][j]代表可装物品为0-i，背包容量为j的情况下，背包内容量的最大价值
|
||
int[][] dp = new int[nums.length][target + 1];
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||
|
||
//初始化,dp[0][j]的最大价值nums[0](if j > weight[i])
|
||
//dp[i][0]均为0，不用初始化
|
||
for (int j = nums[0]; j <= target; j++) {
|
||
dp[0][j] = nums[0];
|
||
}
|
||
|
||
//遍历物品，遍历背包
|
||
//递推公式:
|
||
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
|
||
for (int j = 0; j <= target; j++) {
|
||
//背包容量可以容纳nums[i]
|
||
if (j >= nums[i]) {
|
||
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]);
|
||
} else {
|
||
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return dp[nums.length - 1][target] == target;
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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Python：
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||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
|
||
target = sum(nums)
|
||
if target % 2 == 1: return False
|
||
target //= 2
|
||
dp = [0] * 10001
|
||
for i in range(len(nums)):
|
||
for j in range(target, nums[i] - 1, -1):
|
||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
|
||
return target == dp[target]
|
||
```
|
||
Go：
|
||
```go
|
||
// 分割等和子集 动态规划
|
||
// 时间复杂度O(n^2) 空间复杂度O(n)
|
||
func canPartition(nums []int) bool {
|
||
sum := 0
|
||
for _, num := range nums {
|
||
sum += num
|
||
}
|
||
// 如果 nums 的总和为奇数则不可能平分成两个子集
|
||
if sum % 2 == 1 {
|
||
return false
|
||
}
|
||
|
||
target := sum / 2
|
||
dp := make([]int, target + 1)
|
||
|
||
for _, num := range nums {
|
||
for j := target; j >= num; j-- {
|
||
if dp[j] < dp[j - num] + num {
|
||
dp[j] = dp[j - num] + num
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[target] == target
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
```go
|
||
func canPartition(nums []int) bool {
|
||
/**
|
||
动态五部曲：
|
||
1.确定dp数组和下标含义
|
||
2.确定递推公式
|
||
3.dp数组初始化
|
||
4.dp遍历顺序
|
||
5.打印
|
||
**/
|
||
//确定和
|
||
var sum int
|
||
for _,v:=range nums{
|
||
sum+=v
|
||
}
|
||
if sum%2!=0{ //如果和为奇数，则不可能分成两个相等的数组
|
||
return false
|
||
}
|
||
sum/=2
|
||
//确定dp数组和下标含义
|
||
var dp [][]bool //dp[i][j] 表示： 前i个石头是否总和不大于J
|
||
//初始化数组
|
||
dp=make([][]bool,len(nums)+1)
|
||
for i,_:=range dp{
|
||
dp[i]=make([]bool,sum+1)
|
||
dp[i][0]=true
|
||
}
|
||
for i:=1;i<=len(nums);i++{
|
||
for j:=1;j<=sum;j++{//j是固定总量
|
||
if j>=nums[i-1]{//如果容量够用则可放入背包
|
||
dp[i][j]=dp[i-1][j]||dp[i-1][j-nums[i-1]]
|
||
}else{//如果容量不够用则不拿，维持前一个状态
|
||
dp[i][j]=dp[i-1][j]
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[len(nums)][sum]
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
javaScript:
|
||
|
||
```js
|
||
var canPartition = function(nums) {
|
||
const sum = (nums.reduce((p, v) => p + v));
|
||
if (sum & 1) return false;
|
||
const dp = Array(sum / 2 + 1).fill(0);
|
||
for(let i = 0; i < nums.length; i++) {
|
||
for(let j = sum / 2; j >= nums[i]; j--) {
|
||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
|
||
if (dp[j] === sum / 2) {
|
||
return true;
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[sum / 2] === sum / 2;
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
-----------------------
|
||
<div align="center"><img src=https://code-thinking.cdn.bcebos.com/pics/01二维码一.jpg width=500> </img></div>
|