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# 完全背包的排列问题模拟
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#### Problem
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1. 排列问题是完全背包中十分棘手的问题。
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2. 其在迭代过程中需要先迭代背包容量，再迭代物品个数，使得其在代码理解上较难入手。
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#### Contribution
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本文档以力扣上[组合总和IV](https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/)为例，提供一个二维dp的代码例子，并提供模拟过程以便于理解
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#### Code
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```cpp
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int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
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// 定义背包容量为target，物品个数为nums.size()的dp数组
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// dp[i][j]表示将第0-i个物品添加入排列中，和为j的排列方式
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vector<vector<int>> dp (nums.size(), vector(target+1,0));
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// 表示有0,1,...,n个物品可选择的情况下，和为0的选择方法为1：什么都不取
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for(int i = 0; i < nums.size(); i++) dp[i][0] = 1;
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// 必须按列遍历，因为右边数组需要知道左边数组最低部的信息（排列问题）
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// 后面的模拟可以更清楚的表现这么操作的原因
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for(int i = 1; i <= target; i++){
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for(int j = 0; j < nums.size(); j++){
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// 只有nums[j]可以取的情况
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if(j == 0){
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if(nums[j] > i) dp[j][i] = 0;
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// 如果背包容量放不下 那么此时没有排列方式
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else dp[j][i] = dp[nums.size()-1][i-nums[j]];
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// 如果背包容量放的下 全排列方式为dp[最底层][容量-该物品容量]排列方式后面放一个nums[j]
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}
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// 有多个nums数可以取
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else{
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// 如果背包容量放不下 那么沿用0-j-1个物品的排列方式
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if(nums[j] > i) dp[j][i] = dp[j-1][i];
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// 如果背包容量放得下 在dp[最底层][容量-该物品容量]排列方式后面放一个nums[j]后面放个nums[j]
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// INT_MAX避免溢出
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else if(i >= nums[j] && dp[j-1][i] < INT_MAX - dp[nums.size()-1][i-nums[j]])
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dp[j][i] = dp[j-1][i] + dp[nums.size()-1][i-nums[j]];
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}
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}
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}
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// 打印dp数组
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for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
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for(int j = 0; j <= target; j++){
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cout<<dp[i][j]<<" ";
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}
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cout<<endl;
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}
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return dp[nums.size()-1][target];
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}
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```
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#### Simulation
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##### 样例 nums = [2,3,4], target = 6
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##### 1. 初始化一个3x7的dp数组
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1 0 0 0 0 0 0
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1 0 0 0 0 0 0
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1 0 0 0 0 0 0
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dp\[0-2\]\[0\] = 1，含义是有nums[0-2]物品时使得背包容量为0的取法为1，作用是在取到nums[i]物品使得背包容量为nums[i]时取法为1。
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##### 2.迭代方式
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必须列优先，因为右边的数组在迭代时需要最左下的数组最终结果。
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##### 3. 模拟过程
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i = 1, j = 0 dp\[0\]\[1\] = 0，表示在物品集合{2}中无法组成和为1
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i = 1, j = 1 dp\[1\]\[1\] = 0，表示在物品集合{2,3}中无法组成和为1
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i = 1, j = 2 dp\[2\]\[1\] = 0，表示在物品集合{2,3,4}中无法组成和为1
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1 0 0 0 0 0 0
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1 0 0 0 0 0 0
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1 **0** 0 0 0 0 0
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此时dp\[2\]\[1\]作为第1列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下组成和为1的排列方式为0
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i = 2, j = 0 dp\[0\]\[2\] = 1，表示在物品集合{2}中取出和为2的排列有{2}
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i = 2, j = 1 dp\[1\]\[2\] = 1，表示在物品集合{2,3}中取出和为2的排列有{2}
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i = 2, j = 2 dp\[2\]\[2\] = 1，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为2的排列有{2}
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1 0 1 0 0 0 0
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1 0 1 0 0 0 0
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1 0 **1** 0 0 0 0
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此时dp\[2\]\[2\]作为第2列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为2的排列方式有1个 （类比成一维dp即dp[2]=dp[0]）
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i = 3, j = 0 dp\[0\]\[3\] = 0，表示在物品集合{2}中无法取出和为3
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i = 3, j = 1 dp\[1\]\[3\] = 1，表示在物品集合{2,3}中取出和为3的排列有{3}
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i = 3, j = 2 dp\[2\]\[3\] = 1，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为3的排列有{3}
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1 0 1 0 0 0 0
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1 0 1 1 0 0 0
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1 0 1 **1** 0 0 0
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此时dp\[2\]\[3\]作为第3列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为3的排列方式有1个（类比成一维dp即dp[3]=dp[0]）
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i = 4, j = 0 dp\[0\]\[4\] = 1，表示在物品集合{2}中取出和为4的排列有在原有的排列{2}后添加一个2成为{2,2}（从第2列底部信息继承获得）
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i = 4, j = 1 dp\[1\]\[4\] = 1，表示在物品集合{2,3}中取出和为4的排列有{2,2}
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i = 4, j = 2 dp\[2\]\[4\] = 2，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为4的排列有{{2,2},{4}}（{2,2}的信息从该列头上获得）
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1 0 1 0 1 0 0
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1 0 1 1 1 0 0
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1 0 1 1 **2** 0 0
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此时dp\[2\]\[4\]作为第4列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为4的排列方式有2个
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i = 5, j = 0 dp\[0\]\[5\] = 1，表示在物品集合{2}中取出和为5的排列有{3,2} **(3的信息由dp[2]\[3]获得，即将2放在3的右边)**
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i = 5, j = 1 dp\[1\]\[5\] = 2，表示在物品集合{2,3}中取出和为5的排列有{{2,3},{3,2}} **({3,2}由上一行信息继承，{2,3}是从dp[2] [2]获得，将3放在2的右边)**
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i = 5, j = 2 dp\[2\]\[5\] = 2，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为5的排列有{{2,3},{3,2}}
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1 0 1 0 1 1 0
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1 0 1 1 1 2 0
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1 0 1 1 2 **2** 0
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此时dp\[2\]\[5\]作为第5列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为5的排列方式有2个
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i = 6, j = 0 dp\[0\]\[6\] = 2，表示在物品集合{2}中取出和为6的排列有{{2,2,2},{4,2}} **(信息由dp[2]\[4]获得，即将2放在{2,2}和{4}的右边)**
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i = 6, j = 1 dp\[1\]\[6\] = 3，表示在物品集合{2,3}中取出和为6的排列有{{2,2,2},{4,2},{3,3}} **({2,2,2},{4,2}由上一行信息继承，{3,3}是从dp[2] [3]获得，将3放在3的右边)**
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i = 6, j = 2 dp\[2\]\[6\] = 4，表示在物品集合{2,3,4}中取出和为6的排列有{{2,2,2},{4,2},{3,3},{2,4}} **({2,2,2},{4,2},{3,3}由上一行继承，{2,4}从dp[2]获得，将4放在2的右边)**
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1 0 1 0 1 1 2
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1 0 1 1 1 2 3
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1 0 1 1 2 2 **4**
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此时dp\[2\]\[6\]作为第6列最底部的元素，表示所有物品都有的情况下和为6的排列方式有4个，为{2,2,2}，{4,2}，{3,3}，{2,4}。
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