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<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 343. 整数拆分
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/integer-break/)
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给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
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示例 1:
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* 输入: 2
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* 输出: 1
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* 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
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示例 2:
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* 输入: 10
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* 输出: 36
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* 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
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* 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
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# 算法公开课
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**《代码随想录》算法视频公开课：[动态规划，本题关键在于理解递推公式！| LeetCode：343. 整数拆分](https://www.bilibili.com/video/BV1Mg411q7YJ/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个....
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我们来看一下如何使用动规来解决。
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### 动态规划
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动规五部曲，分析如下：
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
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dp[i]的定义将贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！
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2. 确定递推公式
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可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
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其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
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一个是j * (i - j) 直接相乘。
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一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
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**那有同学问了，j怎么就不拆分呢？**
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j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
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也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
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如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
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所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
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那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
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因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。
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3. dp的初始化
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不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
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有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
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严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
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拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
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这是无解的。
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这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
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4. 确定遍历顺序
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确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
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dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
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所以遍历顺序为：
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```CPP
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for (int i = 3; i <= n ; i++) {
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for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
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dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
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}
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}
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```
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注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。
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j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的，不过可以节省一步，例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1
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至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
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更优化一步，可以这样：
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```CPP
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for (int i = 3; i <= n ; i++) {
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for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
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dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
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}
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||
}
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```
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因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
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例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。
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只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
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那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。
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至于 “拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的” 这个我就不去做数学证明了，感兴趣的同学，可以自己证明。
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5. 举例推导dp数组
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举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
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以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int integerBreak(int n) {
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vector<int> dp(n + 1);
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dp[2] = 1;
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for (int i = 3; i <= n ; i++) {
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for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
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||
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
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}
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}
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return dp[n];
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}
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};
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```
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* 时间复杂度：O(n^2)
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* 空间复杂度：O(n)
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### 贪心
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本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，**但是这个结论需要数学证明其合理性！**
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我没有证明，而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。
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给出我的C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int integerBreak(int n) {
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if (n == 2) return 1;
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if (n == 3) return 2;
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if (n == 4) return 4;
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int result = 1;
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while (n > 4) {
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result *= 3;
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n -= 3;
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}
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result *= n;
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return result;
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||
}
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||
};
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```
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* 时间复杂度：O(n)
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* 空间复杂度：O(1)
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## 总结
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本题掌握其动规的方法，就可以了，贪心的解法确实简单，但需要有数学证明，如果能自圆其说也是可以的。
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其实这道题目的递推公式并不好想，而且初始化的地方也很有讲究，我在写本题的时候一开始写的代码是这样的：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int integerBreak(int n) {
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if (n <= 3) return 1 * (n - 1);
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vector<int> dp(n + 1, 0);
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dp[1] = 1;
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dp[2] = 2;
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dp[3] = 3;
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for (int i = 4; i <= n ; i++) {
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for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
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||
dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);
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}
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}
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return dp[n];
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}
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};
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```
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**这个代码也是可以过的！**
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在解释递推公式的时候，也可以解释通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。 看起来没毛病！
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但是在解释初始化的时候，就发现自相矛盾了，dp[1]为什么一定是1呢？根据dp[i]的定义，dp[2]也不应该是2啊。
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但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要这么初始化。递推公式没毛病，但初始化解释不通！
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虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保证n<=3 结果是正确的，但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2，**这其实就是自相矛盾的代码，违背了dp[i]的定义！**
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我举这个例子，其实就说做题的严谨性，上面这个代码也可以AC，大体上一看好像也没有毛病，递推公式也说得过去，但是仅仅是恰巧过了而已。
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## 其他语言版本
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### Java
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```Java
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class Solution {
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public int integerBreak(int n) {
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//dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
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int[] dp = new int[n+1];
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dp[2] = 1;
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for(int i = 3; i <= n; i++) {
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for(int j = 1; j <= i-j; j++) {
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// 这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已，
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//并且，在本题中，我们分析 dp[0], dp[1]都是无意义的，
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//j 最大到 i-j,就不会用到 dp[0]与dp[1]
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||
dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
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||
// j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ，再相乘
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||
//而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。
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}
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}
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return dp[n];
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}
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}
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```
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### Python
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动态规划（版本一）
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```python
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class Solution:
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# 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
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# 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
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# 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
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def integerBreak(self, n):
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||
dp = [0] * (n + 1) # 创建一个大小为n+1的数组来存储计算结果
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dp[2] = 1 # 初始化dp[2]为1，因为当n=2时，只有一个切割方式1+1=2，乘积为1
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||
# 从3开始计算，直到n
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for i in range(3, n + 1):
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||
# 遍历所有可能的切割点
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for j in range(1, i // 2 + 1):
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||
|
||
# 计算切割点j和剩余部分(i-j)的乘积，并与之前的结果进行比较取较大值
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||
|
||
dp[i] = max(dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j)
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||
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||
return dp[n] # 返回最终的计算结果
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||
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||
```
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动态规划（版本二）
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```python
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||
class Solution:
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def integerBreak(self, n):
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if n <= 3:
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return 1 * (n - 1) # 对于n小于等于3的情况，返回1 * (n - 1)
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||
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||
dp = [0] * (n + 1) # 创建一个大小为n+1的数组来存储最大乘积结果
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||
dp[1] = 1 # 当n等于1时，最大乘积为1
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||
dp[2] = 2 # 当n等于2时，最大乘积为2
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||
dp[3] = 3 # 当n等于3时，最大乘积为3
|
||
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||
# 从4开始计算，直到n
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||
for i in range(4, n + 1):
|
||
# 遍历所有可能的切割点
|
||
for j in range(1, i // 2 + 1):
|
||
# 计算切割点j和剩余部分(i - j)的乘积，并与之前的结果进行比较取较大值
|
||
dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j])
|
||
|
||
return dp[n] # 返回整数拆分的最大乘积结果
|
||
|
||
```
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||
贪心
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||
```python
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||
class Solution:
|
||
def integerBreak(self, n):
|
||
if n == 2: # 当n等于2时，只有一种拆分方式：1+1=2，乘积为1
|
||
return 1
|
||
if n == 3: # 当n等于3时，只有一种拆分方式：1+1+1=3，乘积为1
|
||
return 2
|
||
if n == 4: # 当n等于4时，有两种拆分方式：2+2=4和1+1+1+1=4，乘积都为4
|
||
return 4
|
||
result = 1
|
||
while n > 4:
|
||
result *= 3 # 每次乘以3，因为3的乘积比其他数字更大
|
||
n -= 3 # 每次减去3
|
||
result *= n # 将剩余的n乘以最后的结果
|
||
return result
|
||
|
||
```
|
||
### Go
|
||
```go
|
||
func integerBreak(n int) int {
|
||
/**
|
||
动态五部曲
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||
1.确定dp下标及其含义
|
||
2.确定递推公式
|
||
3.确定dp初始化
|
||
4.确定遍历顺序
|
||
5.打印dp
|
||
**/
|
||
dp := make([]int, n+1)
|
||
dp[1] = 1
|
||
dp[2] = 1
|
||
for i := 3; i < n+1; i++ {
|
||
for j := 1; j < i-1; j++ {
|
||
// i可以差分为i-j和j。由于需要最大值，故需要通过j遍历所有存在的值，取其中最大的值作为当前i的最大值，在求最大值的时候，一个是j与i-j相乘，一个是j与dp[i-j].
|
||
dp[i] = max(dp[i], max(j*(i-j), j*dp[i-j]))
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n]
|
||
}
|
||
func max(a, b int) int{
|
||
if a > b {
|
||
return a
|
||
}
|
||
return b
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Javascript
|
||
```Javascript
|
||
var integerBreak = function(n) {
|
||
let dp = new Array(n + 1).fill(0)
|
||
dp[2] = 1
|
||
|
||
for(let i = 3; i <= n; i++) {
|
||
for(let j = 1; j <= i / 2; j++) {
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j)
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n]
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
### Rust
|
||
```rust
|
||
pub fn integer_break(n: i32) -> i32 {
|
||
let n = n as usize;
|
||
let mut dp = vec![0; n + 1];
|
||
dp[2] = 1;
|
||
for i in 3..=n {
|
||
for j in 1..i-1 {
|
||
dp[i] = dp[i].max((i - j) * j).max(dp[i - j] * j);
|
||
}
|
||
}
|
||
dp[n] as i32
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
贪心：
|
||
|
||
```rust
|
||
impl Solution {
|
||
pub fn integer_break(mut n: i32) -> i32 {
|
||
match n {
|
||
2 => 1,
|
||
3 => 2,
|
||
4 => 4,
|
||
5.. => {
|
||
let mut res = 1;
|
||
while n > 4 {
|
||
res *= 3;
|
||
n -= 3;
|
||
}
|
||
res * n
|
||
}
|
||
_ => panic!("Error"),
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### TypeScript
|
||
|
||
```typescript
|
||
function integerBreak(n: number): number {
|
||
/**
|
||
dp[i]: i对应的最大乘积
|
||
dp[2]: 1;
|
||
...
|
||
dp[i]: max(
|
||
1 * dp[i - 1], 1 * (i - 1),
|
||
2 * dp[i - 2], 2 * (i - 2),
|
||
..., (i - 2) * dp[2], (i - 2) * 2
|
||
);
|
||
*/
|
||
const dp: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
|
||
dp[2] = 1;
|
||
for (let i = 3; i <= n; i++) {
|
||
for (let j = 1; j <= i / 2; j++) {
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], j * dp[i - j], j * (i - j));
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
### C
|
||
|
||
```c
|
||
//初始化DP数组
|
||
int *initDP(int num) {
|
||
int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * (num + 1));
|
||
int i;
|
||
for(i = 0; i < num + 1; ++i) {
|
||
dp[i] = 0;
|
||
}
|
||
return dp;
|
||
}
|
||
|
||
//取三数最大值
|
||
int max(int num1, int num2, int num3) {
|
||
int tempMax = num1 > num2 ? num1 : num2;
|
||
return tempMax > num3 ? tempMax : num3;
|
||
}
|
||
|
||
int integerBreak(int n){
|
||
int *dp = initDP(n);
|
||
//初始化dp[2]为1
|
||
dp[2] = 1;
|
||
|
||
int i;
|
||
for(i = 3; i <= n; ++i) {
|
||
int j;
|
||
for(j = 1; j < i - 1; ++j) {
|
||
//取得上次循环:dp[i]，原数相乘，或j*dp[]i-j] 三数中的最大值
|
||
dp[i] = max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[n];
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Scala
|
||
|
||
```scala
|
||
object Solution {
|
||
def integerBreak(n: Int): Int = {
|
||
var dp = new Array[Int](n + 1)
|
||
dp(2) = 1
|
||
for (i <- 3 to n) {
|
||
for (j <- 1 until i - 1) {
|
||
dp(i) = math.max(dp(i), math.max(j * (i - j), j * dp(i - j)))
|
||
}
|
||
}
|
||
dp(n)
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
<p align="center">
|
||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||
<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
|
||
</a>
|