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<p align="center"><strong>欢迎大家<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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## 416. 分割等和子集
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/
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题目难易：中等
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给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
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注意:
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每个数组中的元素不会超过 100
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数组的大小不会超过 200
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示例 1:
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输入: [1, 5, 11, 5]
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输出: true
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解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
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示例 2:
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输入: [1, 2, 3, 5]
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输出: false
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解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
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提示：
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* 1 <= nums.length <= 200
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* 1 <= nums[i] <= 100
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## 思路
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这道题目初步看，是如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题
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* 698.划分为k个相等的子集
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* 473.火柴拼正方形
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这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
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那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。
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本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯，直接上01背包吧。
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如果对01背包不够了解，建议仔细看完如下两篇：
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/FwIiPPmR18_AJO5eiidT6w)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)
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## 01背包问题
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背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
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**背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。**
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要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。
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**即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。**
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**要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。**
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回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
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那么来一一对应一下本题，看看背包问题如果来解决。
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**只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。**
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* 背包的体积为sum / 2
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* 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
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* 背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
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* 背包中每一个元素是不可重复放入。
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以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。
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动规五部曲分析如下：
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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01背包中，dp[i] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
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**套到本题，dp[i]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp[i]**。
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2. 确定递推公式
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01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
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所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
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3. dp数组如何初始化
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在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，
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从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
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如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
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**这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了**。
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本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。
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代码如下：
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```C++
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// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
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// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
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vector<int> dp(10001, 0);
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```
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4. 确定遍历顺序
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒叙遍历！
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代码如下：
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```C++
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// 开始 01背包
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for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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dp[i]的数值一定是小于等于i的。
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**如果dp[i] == i 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和i，理解这一点很重要。**
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用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：
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最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
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综上分析完毕，C++代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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bool canPartition(vector<int>& nums) {
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int sum = 0;
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// dp[i]中的i表示背包内总和
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// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
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// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
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vector<int> dp(10001, 0);
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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sum += nums[i];
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}
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if (sum % 2 == 1) return false;
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int target = sum / 2;
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// 开始 01背包
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for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
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||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
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}
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}
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// 集合中的元素正好可以凑成总和target
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if (dp[target] == target) return true;
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return false;
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}
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};
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```
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* 时间复杂度：O(n^2)
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* 空间复杂度：O(n)，虽然dp数组大小为一个常数，但是大常数
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## 总结
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这道题目就是一道01背包应用类的题目，需要我们拆解题目，然后套入01背包的场景。
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01背包相对于本题，主要要理解，题目中物品是nums[i]，重量是nums[i]，价值也是nums[i]，背包体积是sum/2。
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看代码的话，就可以发现，基本就是按照01背包的写法来的。
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## 其他语言版本
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Java：
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```Java
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class Solution {
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public boolean canPartition(int[] nums) {
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int sum = 0;
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for (int i : nums) {
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sum += i;
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}
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if ((sum & 1) == 1) {
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return false;
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}
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int length = nums.length;
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int target = sum >> 1;
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//dp[j]表示前i个元素可以找到相加等于j情况
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boolean[] dp = new boolean[target + 1];
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//对于第一个元素，只有当j=nums[0]时，才恰好填充满
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if (nums[0] <= target) {
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dp[nums[0]] = true;
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}
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for (int i = 1; i < length; i++) {
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//j由右往左直到nums[i]
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for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
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//只有两种情况，要么放，要么不放
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//取其中的TRUE值
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dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
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}
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//一旦满足，结束，因为只需要找到一组值即可
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if (dp[target]) {
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return dp[target];
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}
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}
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||
return dp[target];
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||
}
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||
}
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```
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Python：
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```python
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class Solution:
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def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
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taraget = sum(nums)
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if taraget % 2 == 1: return False
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taraget //= 2
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dp = [0] * 10001
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for i in range(len(nums)):
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for j in range(taraget, nums[i] - 1, -1):
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
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return taraget == dp[taraget]
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```
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Go：
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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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