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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ" target="_blank">
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<img src="https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210924105952.png" width="1000"/>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 动态规划：给你一些零钱，你要怎么凑？
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## 518. 零钱兑换 II
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[力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/)
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难度：中等
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给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
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示例 1:
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输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
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输出: 4
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解释: 有四种方式可以凑成总金额:
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5=5
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5=2+2+1
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5=2+1+1+1
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5=1+1+1+1+1
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示例 2:
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输入: amount = 3, coins = [2]
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输出: 0
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解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
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示例 3:
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输入: amount = 10, coins = [10]
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输出: 1
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注意，你可以假设：
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* 0 <= amount (总金额) <= 5000
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* 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
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* 硬币种类不超过 500 种
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* 结果符合 32 位符号整数
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## 思路
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这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。
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对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)
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但本题和纯完全背包不一样，**纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！**
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注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？
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例如示例一：
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5 = 2 + 2 + 1
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5 = 2 + 1 + 2
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这是一种组合，都是 2 2 1。
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如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。
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**组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。
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那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!
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回归本题，动规五步曲来分析如下：
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
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2. 确定递推公式
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dp[j] （考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。
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所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
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**这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[动态规划：目标和！](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];**
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3. dp数组如何初始化
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首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。
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从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。
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下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
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4. 确定遍历顺序
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本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
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我在[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
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**但本题就不行了！**
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因为纯完全背包求得是能否凑成总和，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
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而本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。
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所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。
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本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。
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那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
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我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
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代码如下：
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```CPP
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for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
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for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
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dp[j] += dp[j - coins[i]];
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}
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}
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```
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假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
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那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
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**所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！**
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如果把两个for交换顺序，代码如下：
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```
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for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
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for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
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if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
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}
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}
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```
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背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
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**此时dp[j]里算出来的就是排列数！**
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可能这里很多同学还不是很理解，**建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）**
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5. 举例推导dp数组
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输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
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最后红色框dp[amount]为最终结果。
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以上分析完毕，C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int change(int amount, vector<int>& coins) {
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vector<int> dp(amount + 1, 0);
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dp[0] = 1;
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for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
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for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
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||
dp[j] += dp[j - coins[i]];
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}
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}
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return dp[amount];
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}
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};
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```
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是不是发现代码如此精简，哈哈
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## 总结
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本题的递推公式，其实我们在[动态规划：目标和！](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就已经讲过了，**而难点在于遍历顺序！**
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在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
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**如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。
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**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。
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可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面Carl还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！
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## 其他语言版本
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Java：
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```Java
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class Solution {
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public int change(int amount, int[] coins) {
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//递推表达式
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int[] dp = new int[amount + 1];
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//初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
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dp[0] = 1;
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for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
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for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
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dp[j] += dp[j - coins[i]];
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}
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}
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return dp[amount];
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}
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||
}
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```
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Python：
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```python3
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class Solution:
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def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
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dp = [0]*(amount + 1)
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dp[0] = 1
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# 遍历物品
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for i in range(len(coins)):
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# 遍历背包
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for j in range(coins[i], amount + 1):
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dp[j] += dp[j - coins[i]]
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return dp[amount]
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```
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Go：
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```go
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func change(amount int, coins []int) int {
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// 定义dp数组
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dp := make([]int, amount+1)
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// 初始化,0大小的背包, 当然是不装任何东西了, 就是1种方法
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dp[0] = 1
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// 遍历顺序
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// 遍历物品
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for i := 0 ;i < len(coins);i++ {
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// 遍历背包
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for j:= coins[i] ; j <= amount ;j++ {
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// 推导公式
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dp[j] += dp[j-coins[i]]
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}
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||
}
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||
return dp[amount]
|
||
}
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||
```
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||
|
||
Javascript：
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||
```javascript
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||
const change = (amount, coins) => {
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||
let dp = Array(amount + 1).fill(0);
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||
dp[0] = 1;
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||
|
||
for(let i =0; i < coins.length; i++) {
|
||
for(let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
|
||
dp[j] += dp[j - coins[i]];
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return dp[amount];
|
||
}
|
||
```
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