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Floyd 算法精讲
【题目描述】
小明喜欢去公园散步，公园内布置了许多的景点，相互之间通过小路连接，小明希望在观看景点的同时，能够节省体力，走最短的路径。
给定一个公园景点图，图中有 N 个景点（编号为 1 到 N），以及 M 条双向道路连接着这些景点。每条道路上行走的距离都是已知的。
小明有 Q 个观景计划，每个计划都有一个起点 start 和一个终点 end，表示他想从景点 start 前往景点 end。由于小明希望节省体力，他想知道每个观景计划中从起点到终点的最短路径长度。 请你帮助小明计算出每个观景计划的最短路径长度。
【输入描述】
第一行包含两个整数 N, M, 分别表示景点的数量和道路的数量。
接下来的 M 行，每行包含三个整数 u, v, w，表示景点 u 和景点 v 之间有一条长度为 w 的双向道路。
接下里的一行包含一个整数 Q，表示观景计划的数量。
接下来的 Q 行，每行包含两个整数 start, end，表示一个观景计划的起点和终点。
【输出描述】
对于每个观景计划，输出一行表示从起点到终点的最短路径长度。如果两个景点之间不存在路径，则输出 -1。
【输入示例】
7 3 1 2 4 2 5 6 3 6 8 2 1 2 2 3
【输出示例】
4 -1
【提示信息】
从 1 到 2 的路径长度为 4，2 到 3 之间并没有道路。
1 <= N, M, Q <= 1000.
思路
本题是经典的多源最短路问题。
在这之前我们讲解过，dijkstra朴素版、dijkstra堆优化、Bellman算法、Bellman队列优化（SPFA） 都是单源最短路，即只能有一个起点。
而本题是多源最短路，即 求多个起点到多个终点的多条最短路径。
通过本题，我们来系统讲解一个新的最短路算法-Floyd 算法。
Floyd 算法对边的权值正负没有要求，都可以处理。
Floyd算法核心思想是动态规划。
例如我们再求节点1 到 节点9 的最短距离，用二维数组来表示即：grid[1][9]，如果最短距离是10 ，那就是 grid[1][9] = 10。
那 节点1 到 节点9 的最短距离 是不是可以由 节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成呢？
即 grid[1][9] = grid[1][5] + grid[5][9]
节点1 到节点5的最短距离 是不是可以有 节点1 到 节点3的最短距离 + 节点3 到 节点5 的最短距离组成呢？
即 grid[1][5] = grid[1][3] + grid[3][5]
以此类推，节点1 到 节点3的最短距离 可以由更小的区间组成。
那么这样我们是不是就找到了，子问题推导求出整体最优方案的递归关系呢。
而节点1 到 节点9 的最短距离 可以由 节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成， 也可以有 节点1 到节点7的最短距离 + 节点7 到节点9的最短距离的距离组成。
那么选哪个呢？
是不是 要选一个最小的，毕竟是求最短路。
此时我们已经接近明确递归公式了。
之前在讲解动态规划的时候，给出过动规五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
那么接下来我们还是用这五部来给大家讲解 Floyd。
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
这里我们用 grid数组来存图，那就把dp数组命名为 grid。
grid[i][j][k] = m，表示 节点i 到 节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m。
可能有录友会想： 节点i 到 节点j 的最短距离为m，这句话可以理解，但 以[1...k]集合为中间节点 理解不辽。
节点i 到 节点j 的最短路径中 一定是经过很多节点，那么这个集合用[1...k] 来表示。
k不能单独指某个节点，因为谁说 节点i 到节点j的最短路径中 一定只有一个节点呢，所以k 一定要表示一个集合，即[1...k] ，表示节点1 到 节点k 一共k个节点的集合。
2、确定递推公式
在上面的分析中我们已经初步感受到了递推的关系。
我们分两种情况：
- 节点i 到 节点j 的最短路径经过节点k
- 节点i 到 节点j 的最短路径不经过节点k
对于第一种情况，grid[i][j][k] = grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]
节点i 到 节点k 的最短距离 是不经过节点k，中间节点集合为[1...k-1]，所以 表示为grid[i][k][k - 1]
节点k 到 节点j 的最短距离 也是不经过节点k，中间节点集合为[1...k-1]，所以表示为 grid[k][j][k - 1]
第二种情况，grid[i][j][k] = grid[i][j][k - 1]
如果节点i 到 节点j的最短距离 不经过节点k，那么 中间节点集合[1...k-1]，表示为 grid[i][j][k - 1]
因为我们是求最短路，对于这两种情况自然是取最小值。
即： grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1])
3、dp数组如何初始化
grid[i][j][k] = m，表示 节点i 到 节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m。
刚开始初始化k 是不确定的。
例如题目中只是输入边（节点2 -> 节点6，权值为3），那么grid[2][6][k] = 3，k需要填什么呢？
把k 填成1，那如何上来就知道 节点2 经过节点1 到达节点6的最短距离是3 呢。
所以 只能 把k 赋值为 0，本题 节点0 是无意义的，节点是从1 到 n。
这样我们在下一轮计算的时候，就可以根据 grid[i][j][0] 来计算 grid[i][j][1]，此时的 grid[i][j][1] 就是 节点i 经过节点1 到达 节点j 的最小距离了。
初始化这里要画图，对后面的遍历顺序理解很重要
所以初始化：
vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005))); // C++定义了一个三位数组，10005是因为边的最大距离是10^4
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2][0] = val;
grid[p2][p1][0] = val; // 注意这里是双向图
}
grid数组中其他元素数值应该初始化多少呢？
本题求的是最小值，所以输入数据没有涉及到的节点的情况都应该初始为一个最大数。
这样才不会影响，每次计算去最小值的时候，初始值对计算结果的影响。
所以grid数组的定义可以是：
// C++写法，定义了一个三位数组，10005是因为边的最大距离是10^4
vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005)));
4、确定遍历顺序
从递推公式：grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1]) 可以看出，我们需要三个for循环，分别遍历i，j 和k
而 k 依赖于 k - 1， i 和j 的到 并不依赖与 i - 1 或者 j - 1 等等。
那么这三个for的嵌套顺序应该是什么样的呢？
我们来看初始化，我们是把 k =0 的 i 和j 对应的数值都初始化了，这样才能去计算 k = 1 的时候 i 和 j 对应的数值。
这就好比是一个三维坐标，i 和j 是平层，而k 是 垂直向上 的。
遍历的顺序是从底向上 一层一层去遍历。
所以遍历k 的for循环一定是在最外面，这样才能 水平方向一层一层去遍历。如图：
至于遍历 i 和 j 的话，for 循环的先后顺序无所谓。
代码如下：
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]);
}
}
}
有录友可能想，难道 遍历k 放在最里层就不行吗？
k 放在最里层，代码是这样：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int k = 1; k <= n; k++) {
grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]);
}
}
}
此时就遍历了 j 与 k 形成一个平面，i 则是纵面，那遍历 就是这样的：
而我们初始化，是 k 为0，然后 i 和 j 形成的平面做初始化，如果以 k 和 j 形成的平面去遍历，就造成了 递推公式 用不上上一轮计算的结果，从而导致结果不对（初始化的结果只能用上一部分，因为初始化是 i 与j 形成的平面）。
我再给大家举一个测试用例
5 4
1 2 10
1 3 1
3 4 1
4 2 1
1
1 2
就是图：
就节点1 到 节点 2 的最短距离，运行结果是 10 ，但正确的结果很明显是3。
为什么呢？
因为 k 放在最里面，先就把 节点1 和 节点 2 的最短距离就确定了，后面再也不会计算节点 1 和 节点 2的距离，同时也不会基于 初始化或者之前计算过的结果来计算，即不会考虑 节点1 到 节点3， 节点3 到节点 4，节点4到节点2 的距离。
而遍历k 的for循环如果放在中间呢，同样是 j 与k 行程一个平面，i 是纵面，遍历的也是这样：
同样不能完全用上初始化 和 上一层计算的结果。
很多录友对于 floyd算法的遍历顺序搞不懂，其实 是没有从三维的角度去思考，同时我把三维立体图给大家画出来，遍历顺序标出来，大家就很容易想明白，为什么 k 放在最外层 才能用上 初始化和上一轮计算的结果了。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005))); // 因为边的最大距离是10^4
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2][0] = val;
grid[p2][p1][0] = val; // 注意这里是双向图
}
// 开始 floyd
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]);
}
}
}
// 输出结果
int z, start, end;
cin >> z;
while (z--) {
cin >> start >> end;
if (grid[start][end][n] == 10005) cout << -1 << endl;
else cout << grid[start][end][n] << endl;
}
}
拓展 负权回路
本题可以有负数，但不能出现负权回路
floyd n^3
同样多源汇最短路算法 Floyd 也是基于动态规划
Floyd 算法可以用来解决多源最短路径问题，它会计算图中每两个点之间的最短路径。
Floyd 算法对边权的正负没有限制要求（可处理正负权边的图），且能利用 Floyd 算法可能够对图中负环进行判定
LeetCode-1334. 阈值距离内邻居最少的城市
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(n, 10005)); // 因为边的最大距离是10^4
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2] = val;
grid[p2][p1] = val; // 注意这里是双向图
}
// 开始 floyd
for (int p = 0; p < n; p++) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][p] + grid[p][j]);
}
}
}
// 输出结果
int z, start, end;
cin >> z;
while (z--) {
cin >> start >> end;
if (grid[start][end] == 10005) cout << -1 << endl;
else cout << grid[start][end] << endl;
}
}