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20 KiB
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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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> 和子集问题有点像，但又处处是陷阱
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# 491.递增子序列
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/non-decreasing-subsequences/)
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给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。
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示例:
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* 输入: [4, 6, 7, 7]
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* 输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]
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说明:
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* 给定数组的长度不会超过15。
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* 数组中的整数范围是 [-100,100]。
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* 给定数组中可能包含重复数字，相等的数字应该被视为递增的一种情况。
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# 算法公开课
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**《代码随想录》算法视频公开课：[回溯算法精讲，树层去重与树枝去重 | LeetCode：491.递增子序列](https://www.bilibili.com/video/BV1EG4y1h78v/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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这个递增子序列比较像是取有序的子集。而且本题也要求不能有相同的递增子序列。
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这又是子集，又是去重，是不是不由自主的想起了刚刚讲过的[90.子集II](https://programmercarl.com/0090.子集II.html)。
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就是因为太像了，更要注意差别所在，要不就掉坑里了！
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在[90.子集II](https://programmercarl.com/0090.子集II.html)中我们是通过排序，再加一个标记数组来达到去重的目的。
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而本题求自增子序列，是不能对原数组进行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。
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**所以不能使用之前的去重逻辑！**
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本题给出的示例，还是一个有序数组 [4, 6, 7, 7]，这更容易误导大家按照排序的思路去做了。
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为了有鲜明的对比，我用[4, 7, 6, 7]这个数组来举例，抽象为树形结构如图：
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### 回溯三部曲
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* 递归函数参数
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本题求子序列，很明显一个元素不能重复使用，所以需要startIndex，调整下一层递归的起始位置。
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代码如下：
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```cpp
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vector<vector<int>> result;
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vector<int> path;
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void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex)
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```
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* 终止条件
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本题其实类似求子集问题，也是要遍历树形结构找每一个节点，所以和[回溯算法：求子集问题！](https://programmercarl.com/0078.子集.html)一样，可以不加终止条件，startIndex每次都会加1，并不会无限递归。
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但本题收集结果有所不同，题目要求递增子序列大小至少为2，所以代码如下：
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```cpp
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if (path.size() > 1) {
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||
result.push_back(path);
|
||
// 注意这里不要加return，因为要取树上的所有节点
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||
}
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||
```
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* 单层搜索逻辑
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在图中可以看出，**同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了**
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那么单层搜索代码如下：
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```cpp
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unordered_set<int> uset; // 使用set来对本层元素进行去重
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||
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
|
||
if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
|
||
|| uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
|
||
continue;
|
||
}
|
||
uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
|
||
path.push_back(nums[i]);
|
||
backtracking(nums, i + 1);
|
||
path.pop_back();
|
||
}
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||
```
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**对于已经习惯写回溯的同学，看到递归函数上面的`uset.insert(nums[i]);`，下面却没有对应的pop之类的操作，应该很不习惯吧，哈哈**
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**这也是需要注意的点，`unordered_set<int> uset;` 是记录本层元素是否重复使用，新的一层uset都会重新定义（清空），所以要知道uset只负责本层！**
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最后整体C++代码如下：
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```CPP
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// 版本一
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||
class Solution {
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private:
|
||
vector<vector<int>> result;
|
||
vector<int> path;
|
||
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
|
||
if (path.size() > 1) {
|
||
result.push_back(path);
|
||
// 注意这里不要加return，要取树上的节点
|
||
}
|
||
unordered_set<int> uset; // 使用set对本层元素进行去重
|
||
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
|
||
if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
|
||
|| uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
|
||
continue;
|
||
}
|
||
uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
|
||
path.push_back(nums[i]);
|
||
backtracking(nums, i + 1);
|
||
path.pop_back();
|
||
}
|
||
}
|
||
public:
|
||
vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
|
||
result.clear();
|
||
path.clear();
|
||
backtracking(nums, 0);
|
||
return result;
|
||
}
|
||
};
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||
```
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||
* 时间复杂度: O(n * 2^n)
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||
* 空间复杂度: O(n)
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## 优化
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以上代码用我用了`unordered_set<int>`来记录本层元素是否重复使用。
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||
**其实用数组来做哈希，效率就高了很多**。
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注意题目中说了，数值范围[-100,100]，所以完全可以用数组来做哈希。
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程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert，unordered_set需要做哈希映射（也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值）相对费时间，而且每次重新定义set，insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费事的。
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那么优化后的代码如下：
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```CPP
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// 版本二
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||
class Solution {
|
||
private:
|
||
vector<vector<int>> result;
|
||
vector<int> path;
|
||
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
|
||
if (path.size() > 1) {
|
||
result.push_back(path);
|
||
}
|
||
int used[201] = {0}; // 这里使用数组来进行去重操作，题目说数值范围[-100, 100]
|
||
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
|
||
if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
|
||
|| used[nums[i] + 100] == 1) {
|
||
continue;
|
||
}
|
||
used[nums[i] + 100] = 1; // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
|
||
path.push_back(nums[i]);
|
||
backtracking(nums, i + 1);
|
||
path.pop_back();
|
||
}
|
||
}
|
||
public:
|
||
vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
|
||
result.clear();
|
||
path.clear();
|
||
backtracking(nums, 0);
|
||
return result;
|
||
}
|
||
};
|
||
```
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||
这份代码在leetcode上提交，要比版本一耗时要好的多。
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||
**所以正如在[哈希表：总结篇！（每逢总结必经典）](https://programmercarl.com/哈希表总结.html)中说的那样，数组，set，map都可以做哈希表，而且数组干的活，map和set都能干，但如果数值范围小的话能用数组尽量用数组**。
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## 总结
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本题题解清一色都说是深度优先搜索，但我更倾向于说它用回溯法，而且本题我也是完全使用回溯法的逻辑来分析的。
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相信大家在本题中处处都能看到是[回溯算法：求子集问题（二）](https://programmercarl.com/0090.子集II.html)的身影，但处处又都是陷阱。
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**对于养成思维定式或者套模板套嗨了的同学，这道题起到了很好的警醒作用。更重要的是拓展了大家的思路！**
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## 其他语言版本
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### Java
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```Java
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//using set, aligned with the unimproved method
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||
class Solution {
|
||
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
|
||
List<Integer> path = new ArrayList<>();
|
||
public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
|
||
backTracking(nums, 0);
|
||
return result;
|
||
}
|
||
private void backTracking(int[] nums, int startIndex){
|
||
if(path.size() >= 2)
|
||
result.add(new ArrayList<>(path));
|
||
HashSet<Integer> hs = new HashSet<>();
|
||
for(int i = startIndex; i < nums.length; i++){
|
||
if(!path.isEmpty() && path.get(path.size() -1 ) > nums[i] || hs.contains(nums[i]))
|
||
continue;
|
||
hs.add(nums[i]);
|
||
path.add(nums[i]);
|
||
backTracking(nums, i + 1);
|
||
path.remove(path.size() - 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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|
||
```java
|
||
class Solution {
|
||
private List<Integer> path = new ArrayList<>();
|
||
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
|
||
public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
|
||
backtracking(nums,0);
|
||
return res;
|
||
}
|
||
|
||
private void backtracking (int[] nums, int start) {
|
||
if (path.size() > 1) {
|
||
res.add(new ArrayList<>(path));
|
||
}
|
||
|
||
int[] used = new int[201];
|
||
for (int i = start; i < nums.length; i++) {
|
||
if (!path.isEmpty() && nums[i] < path.get(path.size() - 1) ||
|
||
(used[nums[i] + 100] == 1)) continue;
|
||
used[nums[i] + 100] = 1;
|
||
path.add(nums[i]);
|
||
backtracking(nums, i + 1);
|
||
path.remove(path.size() - 1);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
```java
|
||
//法二：使用map
|
||
class Solution {
|
||
//结果集合
|
||
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
|
||
//路径集合
|
||
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
|
||
public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
|
||
getSubsequences(nums,0);
|
||
return res;
|
||
}
|
||
private void getSubsequences( int[] nums, int start ) {
|
||
if(path.size()>1 ){
|
||
res.add( new ArrayList<>(path) );
|
||
// 注意这里不要加return，要取树上的节点
|
||
}
|
||
HashMap<Integer,Integer> map = new HashMap<>();
|
||
for(int i=start ;i < nums.length ;i++){
|
||
if(!path.isEmpty() && nums[i]< path.getLast()){
|
||
continue;
|
||
}
|
||
// 使用过了当前数字
|
||
if ( map.getOrDefault( nums[i],0 ) >=1 ){
|
||
continue;
|
||
}
|
||
map.put(nums[i],map.getOrDefault( nums[i],0 )+1);
|
||
path.add( nums[i] );
|
||
getSubsequences( nums,i+1 );
|
||
path.removeLast();
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
### Python
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||
|
||
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||
回溯 利用set去重
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def findSubsequences(self, nums):
|
||
result = []
|
||
path = []
|
||
self.backtracking(nums, 0, path, result)
|
||
return result
|
||
|
||
def backtracking(self, nums, startIndex, path, result):
|
||
if len(path) > 1:
|
||
result.append(path[:]) # 注意要使用切片将当前路径的副本加入结果集
|
||
# 注意这里不要加return，要取树上的节点
|
||
|
||
uset = set() # 使用集合对本层元素进行去重
|
||
for i in range(startIndex, len(nums)):
|
||
if (path and nums[i] < path[-1]) or nums[i] in uset:
|
||
continue
|
||
|
||
uset.add(nums[i]) # 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
|
||
path.append(nums[i])
|
||
self.backtracking(nums, i + 1, path, result)
|
||
path.pop()
|
||
|
||
```
|
||
回溯 利用哈希表去重
|
||
```python
|
||
class Solution:
|
||
def findSubsequences(self, nums):
|
||
result = []
|
||
path = []
|
||
self.backtracking(nums, 0, path, result)
|
||
return result
|
||
|
||
def backtracking(self, nums, startIndex, path, result):
|
||
if len(path) > 1:
|
||
result.append(path[:]) # 注意要使用切片将当前路径的副本加入结果集
|
||
|
||
used = [0] * 201 # 使用数组来进行去重操作，题目说数值范围[-100, 100]
|
||
for i in range(startIndex, len(nums)):
|
||
if (path and nums[i] < path[-1]) or used[nums[i] + 100] == 1:
|
||
continue # 如果当前元素小于上一个元素，或者已经使用过当前元素，则跳过当前元素
|
||
|
||
used[nums[i] + 100] = 1 # 标记当前元素已经使用过
|
||
path.append(nums[i]) # 将当前元素加入当前递增子序列
|
||
self.backtracking(nums, i + 1, path, result)
|
||
path.pop()
|
||
|
||
|
||
```
|
||
### Go
|
||
|
||
```go
|
||
var (
|
||
res [][]int
|
||
path []int
|
||
)
|
||
func findSubsequences(nums []int) [][]int {
|
||
res, path = make([][]int, 0), make([]int, 0, len(nums))
|
||
dfs(nums, 0)
|
||
return res
|
||
}
|
||
func dfs(nums []int, start int) {
|
||
if len(path) >= 2 {
|
||
tmp := make([]int, len(path))
|
||
copy(tmp, path)
|
||
res = append(res, tmp)
|
||
}
|
||
used := make(map[int]bool, len(nums)) // 初始化used字典，用以对同层元素去重
|
||
for i := start; i < len(nums); i++ {
|
||
if used[nums[i]] { // 去重
|
||
continue
|
||
}
|
||
if len(path) == 0 || nums[i] >= path[len(path)-1] {
|
||
path = append(path, nums[i])
|
||
used[nums[i]] = true
|
||
dfs(nums, i+1)
|
||
path = path[:len(path)-1]
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### Javascript
|
||
|
||
```Javascript
|
||
|
||
var findSubsequences = function(nums) {
|
||
let result = []
|
||
let path = []
|
||
function backtracing(startIndex) {
|
||
if(path.length > 1) {
|
||
result.push(path.slice())
|
||
}
|
||
let uset = []
|
||
for(let i = startIndex; i < nums.length; i++) {
|
||
if((path.length > 0 && nums[i] < path[path.length - 1]) || uset[nums[i] + 100]) {
|
||
continue
|
||
}
|
||
uset[nums[i] + 100] = true
|
||
path.push(nums[i])
|
||
backtracing(i + 1)
|
||
path.pop()
|
||
}
|
||
}
|
||
backtracing(0)
|
||
return result
|
||
};
|
||
|
||
```
|
||
|
||
### TypeScript
|
||
|
||
```typescript
|
||
function findSubsequences(nums: number[]): number[][] {
|
||
const resArr: number[][] = [];
|
||
backTracking(nums, 0, []);
|
||
return resArr;
|
||
function backTracking(nums: number[], startIndex: number, route: number[]): void {
|
||
let length: number = nums.length;
|
||
if (route.length >= 2) {
|
||
resArr.push(route.slice());
|
||
}
|
||
const usedSet: Set<number> = new Set();
|
||
for (let i = startIndex; i < length; i++) {
|
||
if (
|
||
nums[i] < route[route.length - 1] ||
|
||
usedSet.has(nums[i])
|
||
) continue;
|
||
usedSet.add(nums[i]);
|
||
route.push(nums[i]);
|
||
backTracking(nums, i + 1, route);
|
||
route.pop();
|
||
}
|
||
}
|
||
};
|
||
```
|
||
|
||
### Rust
|
||
**回溯+哈希**
|
||
```Rust
|
||
use std::collections::HashSet;
|
||
impl Solution {
|
||
fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, nums: &Vec<i32>, start_index: usize) {
|
||
if path.len() > 1 { result.push(path.clone()); }
|
||
let len = nums.len();
|
||
let mut uset: HashSet<i32> = HashSet::new();
|
||
for i in start_index..len {
|
||
if (!path.is_empty() && nums[i] < *path.last().unwrap()) || uset.contains(&nums[i]) { continue; }
|
||
uset.insert(nums[i]);
|
||
path.push(nums[i]);
|
||
Self::backtracking(result, path, nums, i + 1);
|
||
path.pop();
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
pub fn find_subsequences(nums: Vec<i32>) -> Vec<Vec<i32>> {
|
||
let mut result: Vec<Vec<i32>> = Vec::new();
|
||
let mut path: Vec<i32> = Vec::new();
|
||
Self::backtracking(&mut result, &mut path, &nums, 0);
|
||
result
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
**回溯+数组**
|
||
```Rust
|
||
impl Solution {
|
||
fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, nums: &Vec<i32>, start_index: usize) {
|
||
if path.len() > 1 { result.push(path.clone()); }
|
||
let len = nums.len();
|
||
let mut used = [0; 201];
|
||
for i in start_index..len {
|
||
if (!path.is_empty() && nums[i] < *path.last().unwrap()) || used[(nums[i] + 100) as usize] == 1 { continue; }
|
||
used[(nums[i] + 100) as usize] = 1;
|
||
path.push(nums[i]);
|
||
Self::backtracking(result, path, nums, i + 1);
|
||
path.pop();
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
pub fn find_subsequences(nums: Vec<i32>) -> Vec<Vec<i32>> {
|
||
let mut result: Vec<Vec<i32>> = Vec::new();
|
||
let mut path: Vec<i32> = Vec::new();
|
||
Self::backtracking(&mut result, &mut path, &nums, 0);
|
||
result
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### C
|
||
|
||
```c
|
||
int* path;
|
||
int pathTop;
|
||
int** ans;
|
||
int ansTop;
|
||
int* length;
|
||
//将当前path中的内容复制到ans中
|
||
void copy() {
|
||
int* tempPath = (int*)malloc(sizeof(int) * pathTop);
|
||
memcpy(tempPath, path, pathTop * sizeof(int));
|
||
length[ansTop] = pathTop;
|
||
ans[ansTop++] = tempPath;
|
||
}
|
||
|
||
//查找uset中是否存在值为key的元素
|
||
int find(int* uset, int usetSize, int key) {
|
||
int i;
|
||
for(i = 0; i < usetSize; i++) {
|
||
if(uset[i] == key)
|
||
return 1;
|
||
}
|
||
return 0;
|
||
}
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||
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||
void backTracking(int* nums, int numsSize, int startIndex) {
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||
//当path中元素大于1个时，将path拷贝到ans中
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if(pathTop > 1) {
|
||
copy();
|
||
}
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||
int* uset = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
|
||
int usetTop = 0;
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||
int i;
|
||
for(i = startIndex; i < numsSize; i++) {
|
||
//若当前元素小于path中最后一位元素 || 在树的同一层找到了相同的元素，则continue
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||
if((pathTop > 0 && nums[i] < path[pathTop - 1]) || find(uset, usetTop, nums[i]))
|
||
continue;
|
||
//将当前元素放入uset
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||
uset[usetTop++] = nums[i];
|
||
//将当前元素放入path
|
||
path[pathTop++] = nums[i];
|
||
backTracking(nums, numsSize, i + 1);
|
||
//回溯
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||
pathTop--;
|
||
}
|
||
}
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||
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||
int** findSubsequences(int* nums, int numsSize, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
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||
//辅助数组初始化
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path = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
|
||
ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 33000);
|
||
length = (int*)malloc(sizeof(int*) * 33000);
|
||
pathTop = ansTop = 0;
|
||
|
||
backTracking(nums, numsSize, 0);
|
||
|
||
//设置数组中返回元素个数，以及每个一维数组的长度
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||
*returnSize = ansTop;
|
||
*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
|
||
int i;
|
||
for(i = 0; i < ansTop; i++) {
|
||
(*returnColumnSizes)[i] = length[i];
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||
}
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return ans;
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||
}
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```
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### Swift
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```swift
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func findSubsequences(_ nums: [Int]) -> [[Int]] {
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var result = [[Int]]()
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var path = [Int]()
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||
func backtracking(startIndex: Int) {
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// 收集结果，但不返回，因为后续还要以此基础拼接
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if path.count > 1 {
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||
result.append(path)
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||
}
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var uset = Set<Int>()
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let end = nums.count
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guard startIndex < end else { return } // 终止条件
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for i in startIndex ..< end {
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let num = nums[i]
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if uset.contains(num) { continue } // 跳过重复元素
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||
if !path.isEmpty, num < path.last! { continue } // 确保递增
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||
uset.insert(num) // 通过set记录
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||
path.append(num) // 处理：收集元素
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||
backtracking(startIndex: i + 1) // 元素不重复访问
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||
path.removeLast() // 回溯
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||
}
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||
}
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backtracking(startIndex: 0)
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return result
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||
}
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```
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### Scala
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```scala
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object Solution {
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import scala.collection.mutable
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def findSubsequences(nums: Array[Int]): List[List[Int]] = {
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var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]()
|
||
var path = mutable.ListBuffer[Int]()
|
||
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def backtracking(startIndex: Int): Unit = {
|
||
// 集合元素大于1，添加到结果集
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||
if (path.size > 1) {
|
||
result.append(path.toList)
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||
}
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var used = new Array[Boolean](201)
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||
// 使用循环守卫，当前层没有用过的元素才有资格进入回溯
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||
for (i <- startIndex until nums.size if !used(nums(i) + 100)) {
|
||
// 如果path没元素或 当前循环的元素比path的最后一个元素大，则可以进入回溯
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||
if (path.size == 0 || (!path.isEmpty && nums(i) >= path(path.size - 1))) {
|
||
used(nums(i) + 100) = true
|
||
path.append(nums(i))
|
||
backtracking(i + 1)
|
||
path.remove(path.size - 1)
|
||
}
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||
}
|
||
}
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||
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||
backtracking(0)
|
||
result.toList
|
||
}
|
||
}
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```
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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
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<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
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</a>
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