829. 连续整数求和

题目描述

给定一个正整数 n，返回 连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数 。

示例 1:

输入: n = 5
输出: 2
解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。

示例 2:

输入: n = 9
输出: 3
解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

示例 3:

输入: n = 15
输出: 4
解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

提示:

1 <= n <= 10⁹

解法

方法一：数学推导

连续正整数构成一个公差 d = 1 的等差数列。我们假设等差数列的第一项为 a，项数为 k，那么 n = (a + a + k - 1) \times k / 2，即 n \times 2 = (a \times 2 + k - 1) \times k。这里我们可以得出 k 一定能整除 n \times 2，并且 (n \times 2) / k - k + 1 一定是偶数。

由于 a \geq 1，所以 n \times 2 = (a \times 2 + k - 1) \times k \geq k \times (k + 1)。

综上，我们可以得出：

k 一定能整除 n \times 2；
k \times (k + 1) \leq n \times 2；
(n \times 2) / k - k + 1 一定是偶数。

我们从 k = 1 开始枚举，当 k \times (k + 1) > n \times 2 时，我们可以结束枚举。在枚举的过程中，我们判断 k 是否能整除 n \times 2，并且 (n \times 2) / k - k + 1 是否是偶数，如果是则满足条件，答案加一。

枚举结束后，返回答案即可。

时间复杂度 O(\sqrt{n})，其中 n 为给定的正整数。空间复杂度 O(1)。

Python3

class Solution:
    def consecutiveNumbersSum(self, n: int) -> int:
        n <<= 1
        ans, k = 0, 1
        while k * (k + 1) <= n:
            if n % k == 0 and (n // k + 1 - k) % 2 == 0:
                ans += 1
            k += 1
        return ans

Java

class Solution {

    public int consecutiveNumbersSum(int n) {
        n <<= 1;
        int ans = 0;
        for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
            if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int consecutiveNumbersSum(int n) {
        n <<= 1;
        int ans = 0;
        for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
            if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
};

Go

func consecutiveNumbersSum(n int) int {
	n <<= 1
	ans := 0
	for k := 1; k*(k+1) <= n; k++ {
		if n%k == 0 && (n/k+1-k)%2 == 0 {
			ans++
		}
	}
	return ans
}

TypeScript

function consecutiveNumbersSum(n: number): number {
    let ans = 0;
    n <<= 1;
    for (let k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
        if (n % k === 0 && (Math.floor(n / k) + 1 - k) % 2 === 0) {
            ++ans;
        }
    }
    return ans;
}

3.7 KiB Raw Permalink Blame History Unescape Escape