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* [做项目（多个C++、Java、Go、测开、前端项目）](https://www.programmercarl.com/other/kstar.html)
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* [刷算法（两个月高强度学算法）](https://www.programmercarl.com/xunlian/xunlianying.html)
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* [背八股（40天挑战高频面试题）](https://www.programmercarl.com/xunlian/bagu.html)
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# 494.目标和
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/target-sum/)
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难度：中等
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给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。
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返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。
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示例：
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* 输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
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* 输出：5
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解释：
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* -1+1+1+1+1 = 3
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* +1-1+1+1+1 = 3
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* +1+1-1+1+1 = 3
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* +1+1+1-1+1 = 3
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* +1+1+1+1-1 = 3
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一共有5种方法让最终目标和为3。
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提示：
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* 数组非空，且长度不会超过 20 。
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* 初始的数组的和不会超过 1000 。
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* 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。
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## 算法公开课
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**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满背包有多少种方法？| LeetCode：494.目标和](https://www.bilibili.com/video/BV1o8411j73x/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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如果跟着「代码随想录」一起学过[回溯算法系列](https://programmercarl.com/回溯总结.html)的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以暴搜出来。
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事实确实如此，下面我也会给出相应的代码，只不过会超时。
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这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。
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本题要如何使表达式结果为target，
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既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。
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left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left
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left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。
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target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。
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此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。
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### 回溯算法
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在回溯算法系列中，一起学过这道题目[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)的录友应该感觉很熟悉，这不就是组合总和问题么？
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此时可以套组合总和的回溯法代码，几乎不用改动。
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当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法。
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我也把代码给出来吧，大家可以了解一下，回溯的解法，以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码：
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```CPP
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class Solution {
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private:
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vector<vector<int>> result;
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vector<int> path;
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void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
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if (sum == target) {
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result.push_back(path);
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}
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// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
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for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
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sum += candidates[i];
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path.push_back(candidates[i]);
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backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
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sum -= candidates[i];
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path.pop_back();
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}
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}
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public:
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int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
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int sum = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
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if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
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if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要格外小心数值溢出的问题
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int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和
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// 以下为回溯法代码
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result.clear();
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path.clear();
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sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
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backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
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return result.size();
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}
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};
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```
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当然以上代码超时了。
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也可以使用记忆化回溯，但这里我就不在回溯上下功夫了，直接看动规吧
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### 动态规划 （二维dp数组）
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假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。
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所以我们要求的是 x - (sum - x) = target
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x = (target + sum) / 2
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**此时问题就转化为，用nums装满容量为x的背包，有几种方法**。
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这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。
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大家看到`(target + sum) / 2` 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。
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这么担心就对了，例如sum是5，target是2 的话其实就是无解的，所以：
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```CPP
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（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
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if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
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```
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同时如果target 的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。
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```CPP
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if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
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```
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因为每个物品（题目中的1）只用一次！
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这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。
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本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
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#### 1. 确定dp数组以及下标的含义
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先用 二维 dp数组求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
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01背包为什么这么定义dp数组，我在[0-1背包理论基础](https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html)中 确定dp数组的含义里讲解过。
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#### 2. 确定递推公式
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我们先手动推导一下，这个二维数组里面的数值。
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先只考虑物品0，如图：
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（这里的所有物品，都是题目中的数字1）。
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装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。
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装满背包容量为1 的方法个数是1，即 放物品0。
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装满背包容量为2 的方法个数是0，目前没有办法能装满容量为2的背包。
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接下来 考虑 物品0 和 物品1，如图：
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装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。
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装满背包容量为1 的方法个数是2，即 放物品0 或者 放物品1。
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装满背包容量为2 的方法个数是1，即 放物品0 和 放物品1。
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其他容量都不能装满，所以方法是0。
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-----------------
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接下来 考虑 物品0 、物品1 和 物品2 ，如图：
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装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。
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装满背包容量为1 的方法个数是3，即 放物品0 或者 放物品1 或者 放物品2。
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装满背包容量为2 的方法个数是3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品2、放物品1 和 物品2。
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装满背包容量为3的方法个数是1，即 放物品0 和 物品1 和 物品2。
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通过以上举例，我们来看 dp[2][2] 可以有哪些方向推出来。
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如图红色部分：
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dp[2][2] = 3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品 2、放物品1 和 物品2， 如图所示，三种方法：
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**容量为2 的背包，如果不放 物品2 有几种方法呢**？
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有 dp[1][2] 种方法，即 背包容量为2，只考虑物品0 和 物品1 ，有 dp[1][2] 种方法，如图：
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**容量为2 的背包， 如果放 物品2 有几种方法呢**？
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首先 要在背包里 先把物品2的容量空出来， 装满 刨除物品2容量 的背包 有几种方法呢？
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刨除物品2容量后的背包容量为 1。
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此时装满背包容量为1 有 dp[1][1] 种方法，即： 不放物品2，背包容量为1，只考虑物品 0 和 物品 1，有 dp[1][1] 种方法。
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如图：
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有录友可能疑惑，这里计算的是放满 容量为2的背包 有几种方法，那物品2去哪了？
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在上面图中，你把物品2补上就好，同样是两种方法。
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dp[2][2] = 容量为2的背包不放物品2有几种方法 + 容量为2的背包放物品2有几种方法
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所以 dp[2][2] = dp[1][2] + dp[1][1] ，如图：
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以上过程，抽象化如下：
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* **不放物品i**：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp[i - 1][j]中方法。
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* **放物品i**： 即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。
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本题中，物品i的容量是nums[i]，价值也是nums[i]。
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递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
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考到这个递推公式，我们应该注意到，`j - nums[i]` 作为数组下标，如果 `j - nums[i]` 小于零呢？
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说明背包容量装不下 物品i，所以此时装满背包的方法值 等于 不放物品i的装满背包的方法，即：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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所以递推公式：
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```CPP
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if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
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```
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#### 3. dp数组如何初始化
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先明确递推的方向，如图，求解 dp[2][2] 是由 上方和左上方推出。
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那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，如图红色部分：
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关于dp[0][0]的值，在上面的递推公式讲解中已经讲过，装满背包容量为0 的方法数量是1，即 放0件物品。
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那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢？
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dp[0][j]：只放物品0， 把容量为j的背包填满有几种方法。
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只有背包容量为 物品0 的容量的时候，方法为1，正好装满。
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其他情况下，要不是装不满，要不是装不下。
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所以初始化：dp[0][nums[0]] = 1 ，其他均为0 。
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表格最左列也要初始化，dp[i][0] : 背包容量为0， 放物品0 到 物品i，装满有几种方法。
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都是有一种方法，就是放0件物品。
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即 dp[i][0] = 1
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但这里有例外，就是如果 物品数值就是0呢？
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如果有两个物品，物品0为0， 物品1为0，装满背包容量为0的方法有几种。
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* 放0件物品
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* 放物品0
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* 放物品1
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* 放物品0 和 物品1
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此时是有4种方法。
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其实就是算数组里有t个0，然后按照组合数量求，即 2^t 。
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初始化如下：
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```CPP
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int numZero = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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if (nums[i] == 0) numZero++;
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dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
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}
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```
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#### 4. 确定遍历顺序
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在明确递推方向时，我们知道 当前值 是由上方和左上方推出。
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那么我们的遍历顺序一定是 从上到下，从左到右。
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因为只有这样，我们才能基于之前的数值做推导。
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例如下图，如果上方没数值，左上方没数值，就无法推出 dp[2][2]。
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那么是先 从上到下 ，再从左到右遍历，例如这样：
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```CPP
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
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}
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}
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```
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还是先 从左到右，再从上到下呢，例如这样：
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```CPP
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
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||
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
|
||
}
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||
}
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```
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**其实以上两种遍历都可以**！ （但仅针对二维DP数组是这样的）
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这一点我在 [01背包理论基础](https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html)中的 遍历顺序部分讲过。
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这里我再画图讲一下，以求dp[2][2]为例，当先从上到下，再从左到右遍历，矩阵是这样：
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当先从左到右，再从上到下遍历，矩阵是这样：
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这里大家可以看出，无论是以上哪种遍历，都不影响 dp[2][2]的求值，用来 推导 dp[2][2] 的数值都在。
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#### 5. 举例推导dp数组
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输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
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bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
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dp数组状态变化如下：
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这么大的矩阵，我们是可以自己手动模拟出来的。
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在模拟的过程中，既可以帮我们寻找规律，也可以帮我们验证 递推公式加遍历顺序是不是按照我们想象的结果推进的。
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最后二维dp数组的C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
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||
int sum = 0;
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||
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
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||
if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
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||
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
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||
int bagSize = (target + sum) / 2;
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||
vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(bagSize + 1, 0));
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// 初始化最上行
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if (nums[0] <= bagSize) dp[0][nums[0]] = 1;
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// 初始化最左列，最左列其他数值在递推公式中就完成了赋值
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dp[0][0] = 1;
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int numZero = 0;
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||
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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||
if (nums[i] == 0) numZero++;
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||
dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
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||
}
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// 以下遍历顺序行列可以颠倒
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
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||
if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
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}
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||
}
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return dp[nums.size() - 1][bagSize];
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||
}
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};
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```
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### 动态规划 （一维dp数组）
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将二维dp数组压缩成一维dp数组，我们在 [01背包理论基础（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html) 讲过滚动数组，原理是一样的，即重复利用每一行的数值。
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既然是重复利用每一行，就是将二维数组压缩成一行。
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dp[i][j] 去掉 行的维度，即 dp[j]，表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。
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#### 2. 确定递推公式
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二维DP数组递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];`
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去掉维度i 之后，递推公式：`dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]]` ，即：`dp[j] += dp[j - nums[i]]`
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**这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！**
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#### 3. dp数组如何初始化
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在上面 二维dp数组中，我们讲解过 dp[0][0] 初始为1，这里dp[0] 同样初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。
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#### 4. 确定遍历顺序
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||
在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们系统讲过对于01背包问题一维dp的遍历。
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||
遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）。
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#### 5. 举例推导dp数组
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输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
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||
bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
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dp数组状态变化如下：
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大家可以和 二维dp数组的打印结果做一下对比。
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一维DP的C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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||
public:
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||
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
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int sum = 0;
|
||
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
|
||
if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
|
||
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
|
||
int bagSize = (target + sum) / 2;
|
||
vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
|
||
dp[0] = 1;
|
||
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
|
||
for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
|
||
dp[j] += dp[j - nums[i]];
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[bagSize];
|
||
}
|
||
};
|
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||
```
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* 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
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* 空间复杂度：O(m)，m为背包容量
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### 拓展
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关于一维dp数组的递推公式解释，也可以从以下维度来理解。 （**但还是从二维DP数组到一维DP数组这样更容易理解一些**）
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2. 确定递推公式
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||
有哪些来源可以推出dp[j]呢？
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只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
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例如：dp[j]，j 为5，
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* 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
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* 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
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* 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
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* 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
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* 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包
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那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
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所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
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```
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dp[j] += dp[j - nums[i]]
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```
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## 总结
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此时 大家应该不禁想起，我们之前讲过的[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)是不是应该也可以用dp来做啊？
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是可以求的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法暴搜的。
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本题还是有点难度，理解上从二维DP数组更容易理解，做题上直接用一维DP更简洁一些。
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大家可以选择哪种方式自己更容易理解。
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在后面得题目中，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：
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```CPP
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dp[j] += dp[j - nums[i]];
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```
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我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！
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## 其他语言版本
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### Java
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```java
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class Solution {
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public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
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int sum = 0;
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for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
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//如果target的绝对值大于sum，那么是没有方案的
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if (Math.abs(target) > sum) return 0;
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//如果(target+sum)除以2的余数不为0，也是没有方案的
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if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;
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int bagSize = (target + sum) / 2;
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int[] dp = new int[bagSize + 1];
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dp[0] = 1;
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for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
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for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
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||
dp[j] += dp[j - nums[i]];
|
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}
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}
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||
return dp[bagSize];
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}
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}
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```
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易于理解的二维数组版本：
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```java
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class Solution {
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public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
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// 01背包应用之“有多少种不同的填满背包最大容量的方法“
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// 易于理解的二维数组解法及详细注释
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int sum = 0;
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for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
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sum += nums[i];
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}
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||
// 注意nums[i] >= 0的题目条件，意味着sum也是所有nums[i]的绝对值之和
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// 这里保证了sum + target一定是大于等于零的，也就是left大于等于零（毕竟我们定义left大于right）
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||
if(sum < Math.abs(target)){
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return 0;
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}
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||
// 利用二元一次方程组将left用target和sum表示出来（替换掉right组合），详见代码随想录对此题的分析
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||
// 如果所求的left数组和为小数，则作为整数数组的nums里的任何元素自然是没有办法凑出这个小数的
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||
if((sum + target) % 2 != 0) {
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return 0;
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}
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int left = (sum + target) / 2;
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// dp[i][j]：遍历到数组第i个数时， left为j时的能装满背包的方法总数
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int[][] dp = new int[nums.length][left + 1];
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||
// 初始化最上行（dp[0][j])，当nums[0] == j时（注意nums[0]和j都一定是大于等于零的，因此不需要判断等于-j时的情况），有唯一一种取法可取到j，dp[0][j]此时等于1
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||
// 其他情况dp[0][j] = 0
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||
// java整数数组默认初始值为0
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if (nums[0] <= left) {
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dp[0][nums[0]] = 1;
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}
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// 初始化最左列（dp[i][0])
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// 当从nums数组的索引0到i的部分有n个0时（n > 0)，每个0可以取+/-，因此有2的n次方中可以取到j = 0的方案
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// n = 0说明当前遍历到的数组部分没有0全为正数，因此只有一种方案可以取到j = 0（就是所有数都不取）
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||
int numZeros = 0;
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for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
|
||
if(nums[i] == 0) {
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numZeros++;
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}
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||
dp[i][0] = (int) Math.pow(2, numZeros);
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||
}
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||
// 递推公式分析：
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// 当nums[i] > j时，这时候nums[i]一定不能取，所以是dp[i - 1][j]种方案数
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// nums[i] <= j时，num[i]可取可不取，因此方案数是dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]
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||
// 由递推公式可知，先遍历i或j都可
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||
for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
|
||
for(int j = 1; j <= left; j++) {
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||
if(nums[i] > j) {
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||
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||
} else {
|
||
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
|
||
}
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||
}
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||
}
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||
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||
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||
return dp[nums.length - 1][left];
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}
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}
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```
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### Python
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回溯版
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```python
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class Solution:
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def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):
|
||
if total == target:
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||
result.append(path[:]) # 将当前路径的副本添加到结果中
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||
# 如果 sum + candidates[i] > target，则停止遍历
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||
for i in range(startIndex, len(candidates)):
|
||
if total + candidates[i] > target:
|
||
break
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||
total += candidates[i]
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||
path.append(candidates[i])
|
||
self.backtracking(candidates, target, total, i + 1, path, result)
|
||
total -= candidates[i]
|
||
path.pop()
|
||
|
||
def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
|
||
total = sum(nums)
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||
if target > total:
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||
return 0 # 此时没有方案
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||
if (target + total) % 2 != 0:
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||
return 0 # 此时没有方案，两个整数相加时要注意数值溢出的问题
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||
bagSize = (target + total) // 2 # 转化为组合总和问题，bagSize就是目标和
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||
|
||
# 以下是回溯法代码
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||
result = []
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||
nums.sort() # 需要对nums进行排序
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||
self.backtracking(nums, bagSize, 0, 0, [], result)
|
||
return len(result)
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||
|
||
```
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||
二维DP
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||
```python
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||
class Solution:
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||
def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
|
||
total_sum = sum(nums) # 计算nums的总和
|
||
if abs(target) > total_sum:
|
||
return 0 # 此时没有方案
|
||
if (target + total_sum) % 2 == 1:
|
||
return 0 # 此时没有方案
|
||
target_sum = (target + total_sum) // 2 # 目标和
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||
|
||
# 创建二维动态规划数组，行表示选取的元素数量，列表示累加和
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||
dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]
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||
dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums))]
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||
|
||
# 初始化状态
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dp[0][0] = 1
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if nums[0] <= target_sum:
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dp[0][nums[0]] = 1
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numZero = 0
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||
for i in range(len(nums)):
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||
if nums[i] == 0:
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||
numZero += 1
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||
dp[i][0] = int(math.pow(2, numZero))
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||
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||
# 动态规划过程
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for i in range(1, len(nums)):
|
||
for j in range(target_sum + 1):
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||
dp[i][j] = dp[i - 1][j] # 不选取当前元素
|
||
if j >= nums[i]: #只有j >= 本次遍历元素才可以选取当前元素
|
||
dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i]] # 选取当前元素
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||
|
||
return dp[len(nums)-1][target_sum] # 返回达到目标和的方案数
|
||
|
||
|
||
```
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||
一维DP
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||
```python
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||
class Solution:
|
||
def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
|
||
total_sum = sum(nums) # 计算nums的总和
|
||
if abs(target) > total_sum:
|
||
return 0 # 此时没有方案
|
||
if (target + total_sum) % 2 == 1:
|
||
return 0 # 此时没有方案
|
||
target_sum = (target + total_sum) // 2 # 目标和
|
||
dp = [0] * (target_sum + 1) # 创建动态规划数组，初始化为0
|
||
dp[0] = 1 # 当目标和为0时，只有一种方案，即什么都不选
|
||
for num in nums:
|
||
for j in range(target_sum, num - 1, -1):
|
||
dp[j] += dp[j - num] # 状态转移方程，累加不同选择方式的数量
|
||
return dp[target_sum] # 返回达到目标和的方案数
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||
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||
```
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||
### Go
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回溯法思路
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```go
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func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
|
||
var result int
|
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var backtracking func(nums []int, target int, index int, currentSum int)
|
||
|
||
backtracking = func(nums []int, target int, index int, currentSum int) {
|
||
if index == len(nums) {
|
||
if currentSum == target {
|
||
result++
|
||
}
|
||
return
|
||
}
|
||
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||
// 选择加上当前数字
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backtracking(nums, target, index+1, currentSum+nums[index])
|
||
|
||
// 选择减去当前数字
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||
backtracking(nums, target, index+1, currentSum-nums[index])
|
||
}
|
||
|
||
backtracking(nums, target, 0, 0)
|
||
return result
|
||
}
|
||
```
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||
二维dp
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||
```go
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||
func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
|
||
sum := 0
|
||
for _, v := range nums {
|
||
sum += v
|
||
}
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||
if math.Abs(float64(target)) > float64(sum) {
|
||
return 0 // 此时没有方案
|
||
}
|
||
if (target + sum) % 2 == 1 {
|
||
return 0 // 此时没有方案
|
||
}
|
||
bagSize := (target + sum) / 2
|
||
|
||
dp := make([][]int, len(nums))
|
||
for i := range dp {
|
||
dp[i] = make([]int, bagSize + 1)
|
||
}
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||
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||
// 初始化最上行
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||
if nums[0] <= bagSize {
|
||
dp[0][nums[0]] = 1
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||
}
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||
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||
// 初始化最左列，最左列其他数值在递推公式中就完成了赋值
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||
dp[0][0] = 1
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var numZero float64
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||
for i := range nums {
|
||
if nums[i] == 0 {
|
||
numZero++
|
||
}
|
||
dp[i][0] = int(math.Pow(2, numZero))
|
||
}
|
||
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||
// 以下遍历顺序行列可以颠倒
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||
for i := 1; i < len(nums); i++ { // 行，遍历物品
|
||
for j := 0; j <= bagSize; j++ { // 列，遍历背包
|
||
if nums[i] > j {
|
||
dp[i][j] = dp[i-1][j]
|
||
} else {
|
||
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[len(nums)-1][bagSize]
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
一维dp
|
||
```go
|
||
func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
|
||
sum := 0
|
||
for _, v := range nums {
|
||
sum += v
|
||
}
|
||
if abs(target) > sum {
|
||
return 0
|
||
}
|
||
if (sum+target)%2 == 1 {
|
||
return 0
|
||
}
|
||
// 计算背包大小
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||
bag := (sum + target) / 2
|
||
// 定义dp数组
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||
dp := make([]int, bag+1)
|
||
// 初始化
|
||
dp[0] = 1
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||
// 遍历顺序
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for i := 0; i < len(nums); i++ {
|
||
for j := bag; j >= nums[i]; j-- {
|
||
//推导公式
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||
dp[j] += dp[j-nums[i]]
|
||
//fmt.Println(dp)
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||
}
|
||
}
|
||
return dp[bag]
|
||
}
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||
|
||
func abs(x int) int {
|
||
return int(math.Abs(float64(x)))
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
### JavaScript
|
||
```javascript
|
||
/**
|
||
* 题目来源: {@link https://leetcode.cn/problems/target-sum/}
|
||
*
|
||
* 题解来源: {@link https://programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE}
|
||
*
|
||
* 时间复杂度: O(n * C), C 为数组元素总和与目标值之和的一半
|
||
*
|
||
* 空间复杂度: O(C)
|
||
*
|
||
* @param { number[] } nums
|
||
* @param { number } target
|
||
* @return { number }
|
||
*/
|
||
const findTargetSumWays = (nums, target) => {
|
||
// 原题目可转化为:
|
||
//
|
||
// 将所有元素划分为 2 个集合,
|
||
// 一个集合中包含所有要添加 "+" 号的元素, 一个集合中包含所有要添加 "-" 号的元素
|
||
//
|
||
// 设两个集合的元素和分别为 positive 和 negative, 所有元素总和为 sum, 那么有如下等式:
|
||
// positive + negative = sum (1)
|
||
// positive - negative = target (2)
|
||
// (1) 与 (2) 联立可得: positive = (sum + target) / 2,
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||
// 所以如果能从原数组中取出若干个元素形成 1 个元素总和为 (sum + target) / 2 的集合,
|
||
// 就算得到了 1 种满足题意的组合方法
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||
//
|
||
// 因此, 所求变为: 有多少种取法, 可使得容量为 (sum + target) / 2 的背包被装满?
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||
|
||
const sum = nums.reduce((a, b) => a + b);
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||
|
||
if (Math.abs(target) > sum) {
|
||
return 0;
|
||
}
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||
|
||
if ((target + sum) % 2) {
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
||
const bagWeight = (target + sum) / 2;
|
||
|
||
// 1. dp 数组的含义
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||
// dp[j]: 装满容量为 j 的背包, 有 dp[j] 种方法
|
||
let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0);
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||
|
||
// 2. 递推公式
|
||
// dp[j] = Σ(dp[j - nums[j]]), (j ∈ [0, j] 且 j >= nums[j])
|
||
// 因为 dp[j - nums[j]] 表示: 装满容量为 j - nums[j] 背包有 dp[j - nums[j]] 种方法
|
||
// 而容量为 j - nums[j] 的背包只需要再将 nums[j] 放入背包就能使得背包容量达到 j
|
||
// 因此, 让背包容量达到 j 有 Σ(dp[j - nums[j]]) 种方法
|
||
|
||
// 3. dp 数组如何初始化
|
||
// dp[0] = 1, dp[1 ~ bagWeight] = 0
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||
dp[0] = 1;
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||
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||
// 4. 遍历顺序
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||
// 先物品后背包, 物品从前往后遍历, 背包容量从后往前遍历
|
||
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
|
||
for (let j = bagWeight; j >= nums[i]; j--) {
|
||
dp[j] += dp[j - nums[i]];
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return dp[bagWeight];
|
||
};
|
||
```
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||
### TypeScript
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```ts
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function findTargetSumWays(nums: number[], target: number): number {
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||
// 把数组分成两个组合left, right.left + right = sum, left - right = target.
|
||
const sum: number = nums.reduce((a: number, b: number): number => a + b);
|
||
if ((sum + target) % 2 || Math.abs(target) > sum) return 0;
|
||
const left: number = (sum + target) / 2;
|
||
|
||
// 将问题转化为装满容量为left的背包有多少种方法
|
||
// dp[i]表示装满容量为i的背包有多少种方法
|
||
const dp: number[] = new Array(left + 1).fill(0);
|
||
dp[0] = 1; // 装满容量为0的背包有1种方法（什么也不装）
|
||
for (let i: number = 0; i < nums.length; i++) {
|
||
for (let j: number = left; j >= nums[i]; j--) {
|
||
dp[j] += dp[j - nums[i]];
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[left];
|
||
};
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||
```
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||
### Scala
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```scala
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object Solution {
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def findTargetSumWays(nums: Array[Int], target: Int): Int = {
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||
var sum = nums.sum
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||
if (math.abs(target) > sum) return 0 // 此时没有方案
|
||
if ((sum + target) % 2 == 1) return 0 // 此时没有方案
|
||
var bagSize = (sum + target) / 2
|
||
var dp = new Array[Int](bagSize + 1)
|
||
dp(0) = 1
|
||
for (i <- 0 until nums.length; j <- bagSize to nums(i) by -1) {
|
||
dp(j) += dp(j - nums(i))
|
||
}
|
||
|
||
dp(bagSize)
|
||
}
|
||
}
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||
```
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||
### Rust
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||
```rust
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impl Solution {
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||
pub fn find_target_sum_ways(nums: Vec<i32>, target: i32) -> i32 {
|
||
let sum = nums.iter().sum::<i32>();
|
||
if target.abs() > sum {
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
if (target + sum) % 2 == 1 {
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
let size = (sum + target) as usize / 2;
|
||
let mut dp = vec![0; size + 1];
|
||
dp[0] = 1;
|
||
for n in nums {
|
||
for s in (n as usize..=size).rev() {
|
||
dp[s] += dp[s - n as usize];
|
||
}
|
||
}
|
||
dp[size]
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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||
### C
|
||
|
||
```c
|
||
int getSum(int * nums, int numsSize){
|
||
int sum = 0;
|
||
for(int i = 0; i < numsSize; i++){
|
||
sum += nums[i];
|
||
}
|
||
return sum;
|
||
}
|
||
|
||
int findTargetSumWays(int* nums, int numsSize, int target) {
|
||
int sum = getSum(nums, numsSize);
|
||
int diff = sum - target;
|
||
// 两种情况不满足
|
||
if(diff < 0 || diff % 2 != 0){
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
int bagSize = diff / 2;
|
||
int dp[numsSize + 1][bagSize + 1];
|
||
dp[0][0] = 1;
|
||
for(int i = 1; i <= numsSize; i++){
|
||
int num = nums[i - 1];
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||
for(int j = 0; j <= bagSize; j++){
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dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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if(j >= num){
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dp[i][j] += dp[i - 1][j - num];
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}
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}
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}
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return dp[numsSize][bagSize];
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}
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```
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### C#
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```csharp
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public class Solution
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{
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public int FindTargetSumWays(int[] nums, int target)
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{
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int sum = 0;
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foreach (int num in nums)
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{
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sum += num;
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}
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if (Math.Abs(target) > sum) return 0;
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if ((sum + target) % 2 == 1) return 0;
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int bagSize = (sum + target) / 2;
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int[] dp = new int[bagSize + 1];
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dp[0] = 1;
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for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
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{
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for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--)
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{
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dp[j] += dp[j - nums[i]];
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}
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}
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return dp[bagSize];
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}
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}
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```
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