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# 本周小结！（动态规划系列三）
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本周我们正式开始讲解背包问题，也是动规里非常重要的一类问题。
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背包问题其实有很多细节，如果了解个大概，然后也能一气呵成把代码写出来，但稍稍变变花样可能会陷入迷茫了。
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开始回顾一下本周的内容吧！
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## 周一
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[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)中，我们开始介绍了背包问题。
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首先对于背包的所有问题中，01背包是最最基础的，其他背包也是在01背包的基础上稍作变化。
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所以我才花费这么大精力去讲解01背包。
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关于其他几种常用的背包，大家看这张图就了然于胸了：
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本文用动规五部曲详细讲解了01背包的二维dp数组的实现方法，大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在确定初始化和遍历顺序上。
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
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2. 确定递推公式
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dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
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3. dp数组如何初始化
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```CPP
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// 初始化 dp
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vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
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for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
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dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
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}
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```
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4. 确定遍历顺序
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**01背包二维dp数组在遍历顺序上，外层遍历物品 ，内层遍历背包容量 和 外层遍历背包容量 ，内层遍历物品 都是可以的！**
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但是先遍历物品更好理解。代码如下：
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```CPP
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// weight数组的大小 就是物品个数
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for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
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if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
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else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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背包最大重量为4。
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物品为：
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| | 重量 | 价值 |
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| ----- | ---- | ---- |
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| 物品0 | 1 | 15 |
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| 物品1 | 3 | 20 |
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| 物品2 | 4 | 30 |
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来看一下对应的dp数组的数值，如图：
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最终结果就是dp[2][4]。
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## 周二
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[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中把01背包的一维dp数组（滚动数组）实现详细讲解了一遍。
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分析一下和二维dp数组有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异？
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最后总结了一道朴实无华的背包面试题。
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要求候选人先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。
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然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？
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这几个问题就可以考察出候选人的算法功底了。
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01背包一维数组分析如下：
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1. 确定dp数组的定义
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在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
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2. 一维dp数组的递推公式
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```
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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```
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3. 一维dp数组如何初始化
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如果物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
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4. 一维dp数组遍历顺序
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代码如下：
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```CPP
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：
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## 周三
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[动态规划：416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)中我们开始用01背包来解决问题。
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只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
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* 背包的体积为sum / 2
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* 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
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* 背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
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* 背包中每一个元素是不可重复放入。
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接下来就是一个完整的01背包问题，大家应该可以轻松做出了。
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## 周四
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[动态规划：1049. 最后一块石头的重量 II](https://programmercarl.com/1049.最后一块石头的重量II.html)这道题目其实和[动态规划：416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)是非常像的。
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本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
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[动态规划：416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少。
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这两道题目是对dp[target]的处理方式不同。这也考验的对dp[i]定义的理解。
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## 总结
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总体来说，本周信息量还是比较大的，特别对于对动态规划还不够了解的同学。
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但如果坚持下来把，我在文章中列出的每一个问题，都仔细思考，消化为自己的知识，那么进步一定是飞速的。
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有的同学可能看了看背包递推公式，上来就能撸它几道题目，然后背包问题就这么过去了，其实这样是很不牢固的。
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就像是我们讲解01背包的时候，花了那么大力气才把每一个细节都讲清楚，这里其实是基础，后面的背包问题怎么变，基础比较牢固自然会有自己的一套思考过程。
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