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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/RsdcQ9umo09R6cfnwXZlrQ"><img src="https://img.shields.io/badge/PDF下载-代码随想录-blueviolet" alt=""></a>
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<p align="center"><strong>欢迎大家<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 动态规划： 给我个机会，我再兑换一次零钱
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## 322. 零钱兑换
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/
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给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
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你可以认为每种硬币的数量是无限的。
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示例 1：
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输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
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输出：3
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解释：11 = 5 + 5 + 1
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示例 2：
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输入：coins = [2], amount = 3
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输出：-1
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示例 3：
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输入：coins = [1], amount = 0
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输出：0
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示例 4：
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输入：coins = [1], amount = 1
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输出：1
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示例 5：
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输入：coins = [1], amount = 2
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输出：2
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提示：
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* 1 <= coins.length <= 12
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* 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
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* 0 <= amount <= 10^4
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## 思路
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在[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)中我们已经兑换一次零钱了，这次又要兑换，套路不一样！
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题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
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动规五部曲分析如下：
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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**dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]**
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2. 确定递推公式
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得到dp[j]（考虑coins[i]），只有一个来源，dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]）。
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凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
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所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
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递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
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3. dp数组如何初始化
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首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
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其他下标对应的数值呢？
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考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
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所以下标非0的元素都是应该是最大值。
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代码如下：
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```
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vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
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dp[0] = 0;
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```
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4. 确定遍历顺序
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本题求钱币最小个数，**那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。**。
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所以本题并不强调集合是组合还是排列。
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**如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。
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**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。
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在动态规划专题我们讲过了求组合数是[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)，求排列数是[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://mp.weixin.qq.com/s/Iixw0nahJWQgbqVNk8k6gA)。
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**所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！**
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那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。
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本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
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综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
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5. 举例推导dp数组
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以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
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dp[amount]为最终结果。
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## C++代码
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以上分析完毕，C++ 代码如下：
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```C++
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// 版本一
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class Solution {
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public:
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int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
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vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
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dp[0] = 0;
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for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
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for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
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if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
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dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
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}
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}
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}
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if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
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return dp[amount];
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}
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};
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```
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对于遍历方式遍历背包放在外循环，遍历物品放在内循环也是可以的，我就直接给出代码了
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```C++
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// 版本二
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class Solution {
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public:
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int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
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vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
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||
dp[0] = 0;
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||
for (int i = 1; i <= amount; i++) { // 遍历背包
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for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
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||
if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
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dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
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}
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}
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}
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if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
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return dp[amount];
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}
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};
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```
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## 总结
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细心的同学看网上的题解，**可能看一篇是遍历背包的for循环放外面，看一篇又是遍历背包的for循环放里面，看多了都看晕了**，到底两个for循环应该是什么先后关系。
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能把遍历顺序讲明白的文章几乎找不到！
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这也是大多数同学学习动态规划的苦恼所在，有的时候递推公式很简单，难在遍历顺序上！
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但最终又可以稀里糊涂的把题目过了，也不知道为什么这样可以过，反正就是过了，哈哈
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那么这篇文章就把遍历顺序分析的清清楚楚。
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[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)中求的是组合数，[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://mp.weixin.qq.com/s/Iixw0nahJWQgbqVNk8k6gA)中求的是排列数。
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**而本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！**
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这也是我为什么要先讲518.零钱兑换II 然后再讲本题即：322.零钱兑换，这是Carl的良苦用心那。
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相信大家看完之后，对背包问题中的遍历顺序又了更深的理解了。
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## 其他语言版本
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Java：
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```Java
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class Solution {
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public int coinChange(int[] coins, int amount) {
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int max = Integer.MAX_VALUE;
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int[] dp = new int[amount + 1];
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//初始化dp数组为最大值
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for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
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dp[j] = max;
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}
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//当金额为0时需要的硬币数目为0
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dp[0] = 0;
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for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
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//正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
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for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
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||
//只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
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if (dp[j - coins[i]] != max) {
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//选择硬币数目最小的情况
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dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
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}
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}
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}
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return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
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}
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||
}
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```
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Python：
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Go：
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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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