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<p align="center"><strong>欢迎大家<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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## 343. 整数拆分
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
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给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
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示例 1:
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输入: 2
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输出: 1
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解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
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示例 2:
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输入: 10
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输出: 36
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解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
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说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
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## 思路
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看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个....
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我们来看一下如何使用动规来解决。
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### 动态规划
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动规五部曲，分析如下：
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
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dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！
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2. 确定递推公式
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可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
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其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
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一个是j * (i - j) 直接相乘。
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一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
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**那有同学问了，j怎么就不拆分呢？**
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j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。
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**那有同学问了，j怎么就不拆分呢？**
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j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
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也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
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如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
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所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
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3. dp的初始化
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不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
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有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
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严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
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拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
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这是无解的。
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这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
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4. 确定遍历顺序
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确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
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dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
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枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
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所以遍历顺序为：
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```
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for (int i = 3; i <= n ; i++) {
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for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
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dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
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}
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}
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```
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5. 举例推导dp数组
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举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
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以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int integerBreak(int n) {
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vector<int> dp(n + 1);
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dp[2] = 1;
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for (int i = 3; i <= n ; i++) {
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for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
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dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
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}
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}
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return dp[n];
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}
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};
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```
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* 时间复杂度：O(n^2)
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* 空间复杂度：O(n)
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### 贪心
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本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，**但是这个结论需要数学证明其合理性！**
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我没有证明，而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。
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给出我的C++代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int integerBreak(int n) {
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if (n == 2) return 1;
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if (n == 3) return 2;
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if (n == 4) return 4;
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int result = 1;
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while (n > 4) {
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result *= 3;
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n -= 3;
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}
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result *= n;
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return result;
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}
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||
};
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```
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* 时间复杂度O(n)
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* 空间复杂度O(1)
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## 总结
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本题掌握其动规的方法，就可以了，贪心的解法确实简单，但需要有数学证明，如果能自圆其说也是可以的。
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其实这道题目的递推公式并不好想，而且初始化的地方也很有讲究，我在写本题的时候一开始写的代码是这样的：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int integerBreak(int n) {
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if (n <= 3) return 1 * (n - 1);
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vector<int> dp(n + 1, 0);
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dp[1] = 1;
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dp[2] = 2;
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dp[3] = 3;
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for (int i = 4; i <= n ; i++) {
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for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
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||
dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);
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}
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}
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return dp[n];
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}
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};
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```
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**这个代码也是可以过的！**
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在解释递推公式的时候，也可以解释通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。 看起来没毛病！
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但是在解释初始化的时候，就发现自相矛盾了，dp[1]为什么一定是1呢？根据dp[i]的定义，dp[2]也不应该是2啊。
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但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要这么初始化。递推公式没毛病，但初始化解释不通！
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虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保证n<=3 结果是正确的，但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2，**这其实就是自相矛盾的代码，违背了dp[i]的定义！**
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我举这个例子，其实就说做题的严谨性，上面这个代码也可以AC，大体上一看好像也没有毛病，递推公式也说得过去，但是仅仅是恰巧过了而已。
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## 其他语言版本
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Java：
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Python：
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Go：
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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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